【題目】如圖(1),已知正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,BE=DF,AE、AF分別交BD于點G、H.
(1)求證:BG=DH;
(2)連接FE,如圖(2),當EF=BG時.
①求證:ADAH=AFDF;
②直接寫出的比值.
【答案】(1)見解析; (2) ①見解析; ②
【解析】
(1)根據(jù)正方形性質證△ABE≌△ADF(SAS),得∠BAE=∠DAF,再證△ABG≌△ADH(ASA)即可;
(2)①連接GF,證明四邊形EBGF是平行四邊形,利用BE∥GF∥AD,根據(jù)平行線分線段成比例性質可得:,,故.
②由①可得,,設CF=k,DF=a,根據(jù)勾股定理和 平行線分線段成比例性質得,得到,再代入化簡可得.
證明:(1)∵四邊形 ABCD為正方形
∴AB=AD,∠ABC=∠ADC
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴∠BAE=∠DAF
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴△ABG≌△ADH(ASA)
∴BG=DH
(2)①連接GF.
∵BC=DC,BE=DF,
∴CE=CF
∵∠C=90°
∴∠DBC=∠FEC=45°
∴EF∥BD
∵EF=BG
∴四邊形EBGF是平行四邊形
∴BE∥GF∥AD
∵AD=CD
∴
∵EF∥BD
∴
∴,即.
②由(2)可得
∴
∴
設CF=k,DF=a
則EF=,DG=,
∴DH= EF=,
∴GH=-
∴由可得
整理得
解得
∴
=
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【題目】在中,為直徑,弦,垂足為,且為的中點,連接.
(1)如圖1,求的度數(shù).
(2)如圖2,連接并延長,交圓于點,連接,求證:
(3)在(2)問的條件下,為弧上的一點,連接,、分別為、上的一點,連接,連接交于點,連接、,若,,,,求的長.
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【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ACB=90°,點D是上的一點,且,連接AD交BC于點F,過點A作⊙O的切線AE交BC的延長線于點E.
(1)求證:CF=CE;
(2)若AD=8,AC=5,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,點O在AB上,BC=CD,過點C作⊙O的切線,分別交AB,AD的延長線于點E,F(xiàn).
(1)求證:AF⊥EF;(2)若cosA=,BE=1,求AD的長.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點E為AD上一點,將△ABE沿BE折疊得到△FBE,點G為CD上一點,將△DEG沿EG折疊得到△HEG,且E、F、H三點共線,當△CGH為直角三角形時,AE的長為________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將繞點順時針旋轉到的位置,點,分別落在點,處,點在軸上,再將繞點順時針旋轉到的位置,點在軸上,將繞點順時針旋轉到的位置,點在軸上,依次進行下去……,若點,,則點的坐標為________.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點M,經(jīng)過B,M兩點的⊙O交BC于點G,交AB于點F,FB恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當BC=4,cosC=時,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在矩形中,是的中點,動點在線段上,連接并延長交射線于點,過點作的垂線交于點,設的中點為,連接,.
(1)當點不與點重合時,求證:;
(2)①當點與點或點重合時,是等腰直角三角形,當點與點或點不重合時,請判定的形狀;
②求點移動的最長距離.
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