Question

如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線為y=

k

x

．在x軸上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′．
（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

；
（2）設(shè)P（t，0），當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)O?與點(diǎn)A重合時(shí)，即點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，進(jìn)一步解直角三角形AOB，利用軸對(duì)稱的現(xiàn)在解答即可；
（2）分別求出O′和B′在雙曲線上時(shí)，P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)O?與點(diǎn)A重合時(shí)
∵∠AOB=60°，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后是O?B?．
AP=OP，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），
故答案為：（4，0）．

（2）由（1）知，當(dāng)P的坐標(biāo)是（4，0）時(shí)，直線O?B?與雙曲線有交點(diǎn)O′，
當(dāng)B′在雙曲線上時(shí)，作B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等邊三角形，
∴BP=B′P=t-2，
∴CP=

1

2

（t-2），B′C=

3

2

（t-2），
∴OC=OP-CP=

1

2

t+1，
∴B′的坐標(biāo)是（

1

2

t+1，

3

2

（t-2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2

3

，
∴A（2，2

3

），
∵A和B′都在雙曲線上，
∴（

1

2

t+1）•

3

2

（t-2））=2×2

3

，
解得：t=±2

5

，
∴t的取值范圍是4≤t≤2

5

或-2

5

≤t≤-4．
故答案為：4≤t≤2

5

或-2

5

≤t≤-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，解不等式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．