Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.

(1)畫出與△ACD關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱的三角形；

(2)找出與AC相等的線段；

(3)探究：△ABC中AB與AC的和與中線AD之間有何大小關(guān)系？并說明理由；

(4)若AB=5，AC=3，求線段AD的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)△A′BD即為所求(2)A′B=AC(3)AB+AC＞2AD(4)1＜AD＜4.

【解析】【試題分析】

（1）根據(jù)成中心對稱的定義，延長AD到A’，使A’D=AD，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)D對稱，連接A’B即可，△A′BD即為所求；

（2）根據(jù)成中心對稱的兩個圖形 對應(yīng)邊相等，得A′B=AC；

（3）由（2）得：AB+AC=AB+A′B，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得AB+A′B >AA’=2AD，即AB+AC＞2AD；

(4)由（3）得，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得5-3<AA’=2AD<5+3,即2＜2AD＜8，所以1＜AD＜4.

【試題解析】

(1)如圖所示，△A′BD即為所求；

(2)A′B=AC；

(3)AB+AC＞2AD，理由：由于△A′BD與△ACD關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱，所以AD=A′D，AC=A′B，在△ABA′中，有AB+A′B＞AA′，即AB+AC＞AD+A′D，因此AB+AC＞2AD；

(4)由(3)可得，在△ABA′中，有AB-A′B＜AA′＜AB+A′B，即AB-AC＜2AD＜AB+AC，因此有2＜2AD＜8，所以1＜AD＜4.