【題目】如圖,在△ABC中,AB=ACADBC于點(diǎn)D,BC=10cmAD=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB、AC、ADEF、H,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t0).
1)當(dāng)t=2時(shí),連接DE、DF,求證:四邊形AEDF為菱形;
2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,問所形成的△PEF是否存在最大面積;如果存在請(qǐng)求出,如果不存在說明理由.
3)是否存在某一時(shí)刻t,使△PEF為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)t=2秒時(shí),SPEF存在最大值,最大值為10cm2;(3)當(dāng)t秒,或t秒時(shí),PEF為直角三角形.

【解析】

1)如答圖1所示,利用菱形的定義證明;
2)如答圖2所示,首先求出PEF的面積的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;
3)如答圖3所示,分三種情形,需要分類討論,分別求解.

1)證明:當(dāng)t=2時(shí),DH=AH=4,則HAD的中點(diǎn),如答圖1所示.
又∵EFAD
EFAD的垂直平分線,
AE=DE,AF=DF
AB=ACADBC于點(diǎn)D,
ADBC,∠B=C
EFBC,
∴∠AEF=B,∠AFE=C
∴∠AEF=AFE,
AE=AF,
AE=AF=DE=DF,即四邊形AEDF為菱形.

2)解:如答圖2所示,由(1)知EFBC
∴△AEF∽△ABC,
,即 ,解得:EF=10-,
∴當(dāng)t=2秒時(shí),SPEF存在最大值,最大值為10cm2
3)解:存在.理由如下:
①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn),如答圖3①所示,
此時(shí)PEAD,PE=DH=2t,BP=3t
PEAD,
,
t=0(舍),故此種情形不存在;
②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn),如答圖3②所示,
此時(shí)PFAD,PF=DH=2t,BP=3tCP=10-3t
PFAD,∴,即 ,解得t=;

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),如答圖3③所示.
過點(diǎn)EEMBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)FFNBC于點(diǎn)N,則EM=FN=DH=2t,EMFNAD
EMAD
,
,
解得BM=t,
PM=BP-BM=3t-t=t
RtEMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=2t2+t2=t2
FNAD,
,

解得CN=t,
PN=BC-BP-CN=10-3t-t=10- t
RtFNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=2t2+10-t2=t2-85t+100
RtPEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,
即:(10-t2=t2+t2-85t+100
化簡(jiǎn)得:t2-35t=0,
解得:t=t=0(舍去)
t=
綜上所述,當(dāng)t=秒或t=秒時(shí),△PEF為直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 90%×(2+x)(1+x)=2×1 B. 90%×(2+2x)(1+2x)=2×1

C. 90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1 D. (2+2x)(1+2x)=2×1×90%

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2a+b04a2b+c0ac0④當(dāng)y0時(shí),﹣1x4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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2BEDF是否垂直?說明你的理由.

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1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);

2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(-2n),求使MNBN的值最小時(shí)n的值;

3P是拋物線上一點(diǎn),請(qǐng)你探究:是否存在點(diǎn)P,使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似,(△PAB與△ABD不重合)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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A. B. C. D.

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(2)判斷ABC的形狀,證明你的結(jié)論;

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