Question

矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB=4，∠CAE=15°，則OE的長為（　�。�

• A、2

  6

  -2

  2

• B、4

  3

  -4
• C、2

  3

  -2

  2

• D、4

  6

  -4

  2

Answer 1

考點：矩形的性質

專題：

分析：作出圖形，然后判斷出△ABE是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出BE，然后求出∠BAC=60°，再求出BC，過點O作OF⊥BC于F，然后根據矩形的性質求出OF，再求出EF，利用勾股定理列式計算即可求出OE．

解答：解：如圖，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAC=

1

2

×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=4，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
∴BC=

3

AB=4

3

，
過點O作OF⊥BC于F，
∵O是矩形ABCD的對角線的交點，
∴OF=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
BF=

1

2

BC=

1

2

×4

3

=2

3

，
在Rt△OEF中，OE=

OF2+EF2

=

22+(4-2 3 )2

=

32-16 3

=

(2 6 -2 2 )2

=2

6

-2

2

．
故選A．

點評：本題考查了矩形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，作出輔助線構造成直角三角形是解題的關鍵，難點在于把被開方數寫成完全平方公式的形式．