【題目】如圖,在平面直角坐標系中放置一直角三角板,其頂點為A(﹣1,0),B(0,3),O(0,0),將此三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′O.
⑴如圖,一拋物線經(jīng)過點A,B,B′,求該拋物線解析式;
⑵設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動點,求使四邊形PBAB′的面積達到最大時點P的坐標及面積的最大值.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P(,);S最大=.
【解析】
(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′(-0,1),B′(3,0),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;(2)設(shè)P點坐標為(m,n),連接OP、PB、PB′,結(jié)合(1)中求出的關(guān)系式,根據(jù)四邊形PBAB′的面積=S△ABO+S△POB+S△POB′即可得到答案.
(1)△A′B′O是由△ABO繞原點O旋轉(zhuǎn)90°得到的,
∴B′(3,0).
設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c(a≠0),
∵拋物線經(jīng)過點A(-1,0)、B′(3,0)、B(0,3),
∴ ,
解得:a=-1;b=2;c=3;
∴滿足條件的拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)設(shè)P點坐標為(m,n),連接OP、PB、PB′,
∵P在拋物線y=-x2+2x+3上,
∴n=-m2+2m+3,
∵四邊形PBAB′的面積=S△ABO+S△POB+S△POB′
∴S四邊形PBAB′= OAOB+ OBm+ OB′n
=+m+(-m2+2m+3)
=-(m-)2+
∴當m=時,S四邊形PBAB′有最大值,
∵m=時,n=,
∴P點坐標為(,).
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【題目】如圖,中,,小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作:
①作的平分線交于點;
②作邊的垂直平分線,與相交于點;
③連接,.
請你觀察圖形解答下列問題:
(1)線段,,之間的數(shù)量關(guān)系是________;
(2)若,求的度數(shù).
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【題目】如圖,把拋物線y=x2平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點A(﹣6,0)和原點O(0,0),它的頂點為P,它的對稱軸與拋物線y=x2交于點Q,則圖中陰影部分的面積為 ▲ .
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖所示,下列結(jié)論:①abc<0;②2a﹣b<0;③b2>(a+c)2;④點(﹣3,y1),(1,y2)都在拋物線上,則有y1>y2.其中正確的結(jié)論有( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】如圖,△ABC的周長為19,點D,E在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,∠ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為( )
A. B. 2 C. D. 3
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【題目】如圖,有、、三個居民小區(qū)的位置成三角形,現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市,使超市到三個小區(qū)的距離相等,則超市應(yīng)建在( )
A.在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點處
B.在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處
C.在AC、BC兩邊高線的交點處
D.在AC、BC兩邊中線的交點處
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【題目】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形(如圖2).
(1)圖2中的陰影部分的面積為 ;
(2)觀察圖2請你寫出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之間的等量關(guān)系是 ;
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,若x+y=7,xy=,則x﹣y= ;
(4)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式.根據(jù)圖3,寫出一個因式分解的等式 .
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【題目】甲、乙、丙三個盒子中分別裝有除顏色外都相同的小球,甲盒中裝有兩個球,分別為一個紅球和一個綠球;乙盒中裝有三個球,分別為兩個綠球和一個紅球;丙盒中裝有兩個球,分別為一個紅球和一個綠球,從三個盒子中各隨機取出一個小球
(1)請畫樹狀圖,列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果
(2)請直接寫出事件“取出至少一個紅球”的概率.
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【題目】(2016·赤峰)為有效開發(fā)海洋資源,保護海洋權(quán)益,我國對南海諸島進行了全面調(diào)查.如圖,一測量船在A島測得B島在北偏西30°方向,C島在北偏東15°方向,航行100海里到達B島,在B島測得C島在北偏東45°,求B,C兩島及A,C兩島的距離.(結(jié)果保留到整數(shù), ≈1.41, ≈2.45)
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