Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在軸上，邊與軸交于點(diǎn)，平分交邊于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上，⊙與里面相交于另一點(diǎn)．

（1）求證：是⊙的切線 ；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求⊙的半徑及線段的長(zhǎng)；

（3）試探究線段三者之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），；（3），理由詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）連接EF，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FEB=∠C=90°，證明結(jié)論；

（2）連接FD，設(shè)⊙F的半徑為r，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求出半徑的長(zhǎng)，證∽，求出BF的長(zhǎng)，再證∽，即可求出AC的長(zhǎng)；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得到四邊形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根據(jù)垂徑定理解答即可．

（1）如圖，連接，

∵平分，

，

，

，

，

，

，

又為⊙上一點(diǎn)，

是⊙的切線；

（2）如圖，連接，

設(shè)⊙的半徑為，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

，

，

在中，由勾股定理得，，

，

解得，

即⊙的半徑為，

，

，

，

∴∽，

，即，

，

，

，

∴∽，

，即，

（3）．理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則∠FRC=90°，

∵∠FEC=∠C=90°，

∴四邊形為矩形，

，

，

，

，

．