Question

【題目】已知到直線l的距離等于a的所有點(diǎn)的集合是與直線l平行且距離為a的兩條直線l1、l2（如圖①）．

（1）在圖②的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出到直線y=x＋2的距離為1的所有點(diǎn)的集合的圖形．并寫(xiě)出該圖形與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）試探討在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓上，到直線y= x ＋ 2的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與r的關(guān)系．

（3）如圖③，若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線y= x ＋ b的距離為1，則b的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析，（0，）和（0，3）；（2）當(dāng)0＜r＜1時(shí)，0個(gè)；當(dāng)r=1時(shí)，1個(gè)；當(dāng)1＜r＜3時(shí)，2個(gè)；當(dāng)r=3時(shí)，3個(gè)；當(dāng)3＜r時(shí)，4個(gè)．（3）-3＜b＜-或＜b＜3．

【解析】

試題分析：（1）易證△AOB是等腰直角三角形，兩直線之間的距離是1，則過(guò)B作l1的垂線，垂線段長(zhǎng)是1，利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，即可求得D的坐標(biāo)，同理求得E的坐標(biāo)；

（2）求出O到直線的距離，據(jù)此即可作出判斷；

（3）首選求得到原點(diǎn)距離是1和3時(shí)直線對(duì)應(yīng)的b的值，則b的范圍即可求得．

試題解析：（1）如圖，

y=x+2中令x=0時(shí)y=2，則B的坐標(biāo)是（0，2），

令y=0，0=x+2，解得：x=-2，則A的坐標(biāo)是（-2，0）．

則OA=OB=2，即△ABC是等腰直角三角形，

過(guò)B作BC⊥l1于點(diǎn)C，則BC=1．

則△BCD是等腰直角三角形，BC=CD=1，

則BD=，即D的坐標(biāo)是（0，3），

同理，E的坐標(biāo)是（0，）．

則與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）和（0，3）；

（2）在等腰直角△AOB中，AB==．

過(guò)O作OF⊥AB于點(diǎn)F．則OF=AB=1．

當(dāng)0＜r＜1時(shí)，0個(gè)；

當(dāng)r=1時(shí)，1個(gè)；

當(dāng)1＜r＜3時(shí)，2個(gè)；

當(dāng) r=3時(shí)，3個(gè)；

當(dāng)3＜r時(shí)，4個(gè)．

（3）OM是第一、三象限的角平分線，

當(dāng)OM=2-1=1時(shí)，則l3與y軸的交點(diǎn)G，G的坐標(biāo)是（0，），即b=，

同理當(dāng)ON=3時(shí)，b=3，

當(dāng)直線在原點(diǎn)O下方時(shí)，b=-和b=-3．

則當(dāng)-3＜b＜-或＜b＜3時(shí)，2為半徑的圓上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線y=x+b的距離為1．