【題目】已知四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長線)于E,F.
當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(如圖1),易證AE+CF=EF;
當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.
【答案】圖2成立;圖三不成立,新結(jié)論為:EF=AE-CF.
【解析】
根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF,從而得出對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等,從而得出∠ABE=∠CBF=30°,△BEF為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系,即可推出AE+CF=EF.同理圖2可證明是成立的,圖3不成立.
解:∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,
在△ABE和△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF(SAS);
∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE=∠CBF=30°,
∴AE=BE,CF=BF;
∵∠MBN=60°,BE=BF,
∴△BEF為等邊三角形;
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF;
圖2成立,圖3不成立.
證明圖2.
延長DC至點K,使CK=AE,連接BK,
在△BAE和△BCK中,
,
則△BAE≌△BCK,
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠FBE=60°,∠ABC=120°,
∴∠FBC+∠ABE=60°,
∴∠FBC+∠KBC=60°,
∴∠KBF=∠FBE=60°,
在△KBF和△EBF中,
,
∴△KBF≌△EBF,
∴KF=EF,
∴KC+CF=EF,
即AE+CF=EF.
圖3不成立,新結(jié)論為EF=AE-CF.
理由:如圖3,將RT△ABE順時針旋轉(zhuǎn)120°,
∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴A點與C點重合,∠ABE=∠CBG,
∴BG=BE,FG=CG-CF=AE-CF,
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°,
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°,
∵∠MBN=60°,
∴∠GBF=60°,
在△BFG和△BFE中,
,
∴△BFG≌△BFE,(SAS)
∴GF=EF,
∴EF=AE-CF.
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【題目】如圖,菱形中,,點是邊上一點,占在上,下列選項中不正確的是( )
A. 若,則
B. 若, 則
C. 若,則的周長最小值為
D. 若,則
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, ABC 三個頂點的坐標(biāo)分別為 A(1,1) , B(4, 2) ,C (5, 3) .
(1)在圖中畫出 ABC 關(guān)于 y 軸的對稱 圖形 A1B1C1 ;(要求:畫出三角形,標(biāo)出相應(yīng)頂點的 字母,不寫結(jié)論)
(2)分別寫出A1B1C1 三個頂點的坐標(biāo).
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【題目】某中學(xué)將組織七年級學(xué)生春游一天,由王老師和甲、乙兩同學(xué)到客車租賃公司洽談租車事宜.
(1)兩同學(xué)向公司經(jīng)理了解租車的價格,公司經(jīng)理對他們說:“公司有45座和60座兩種型號的客車可供租用,60座的客車每輛每天的租金比45座的貴100元.”王老師說:“我們學(xué)校八年級昨天在這個公司租了5輛45座和2輛60座的客車,一天的租金為1600元,你們能知道45座和60座的客車每輛每天的租金各是多少元嗎”甲、乙兩同學(xué)想了一下,都說知道了價格.
聰明的你知道45座和60座的客車每輛每天的租金各是多少元嗎?
(2)公司經(jīng)理問:“你們準(zhǔn)備怎樣租車”,甲同學(xué)說:“我的方案是只租用45座的客車,可是會有一輛客車空出30個座位”;乙同學(xué)說“我的方案只租用60座客車,正好坐滿且比甲同學(xué)的方案少用兩輛客車”,王老師在﹣旁聽了他們的談話說:“從經(jīng)濟角度考慮,還有別的方案嗎”?如果是你,你該如何設(shè)計租車方案,并說明理由.
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點N,若sinE=,AK=,求CN的長.
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【題目】在不透明的袋子中有四張標(biāo)著數(shù)字1,2,3,4的卡片,小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲.
小明畫出樹狀圖如圖所示:
小華列出表格如下:
回答下列問題:
(1)根據(jù)小明畫出的樹形圖分析,他的游戲規(guī)則是,隨機抽出一張卡片后 (填“放回”或“不放回”),再隨機抽出一張卡片;
(2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中①表示的有序數(shù)對為 ;
(3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,你認(rèn)為誰獲勝的可能性大?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E,AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G,若∠BAC=100°,則∠EAG=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是等邊內(nèi)一點將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得,連接已知.
求證:是等邊三角形;
當(dāng)時,試判斷的形狀,并說明理由;
探究:當(dāng)為多少度時,是等腰三角形.
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