Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOBC的頂點(diǎn)C在y軸上，雙曲線y=

k

x

恰好經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A，且對(duì)角線AB=8，OC=6

（1）求雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)E（-

4

3

，a）在線段AC上，P為線段OC上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線PE交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且OF=CE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第四象限的雙曲線上，是否存在一點(diǎn)M，使S_△AMC=2S_△AOC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）作EH⊥y軸于H，F(xiàn)Q⊥y軸于Q，先利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=

4

3

x+6，則可得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4

3

，5），則CH=1，EH=

4

3

，然后證明Rt△CEH≌Rt△OFQ，則CH=OQ=1，EH=EQ=

4

3

，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

，-1），接著先利用待定系數(shù)法確定直線EF的解析式為y=-

9

4

x+2，于是可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于S_△AMC=2S_△AOC，而OC=6，把直線AC向下平移12個(gè)單位，得直線l，則l的解析式為y=

4

3

x-6，所以直線l與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M點(diǎn)，然后解方程組

y= 3 4 x-6 y=- 12 x

可確定M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵四邊形AOBC為菱形，
∴AB與OC互相垂直平分，
∴AD=

1

2

AB=4，OD=

1

2

OC=3
∵而C在y軸上，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），
把A（-4，3）代入y=

k

x

得k=-4×3=-12，
∴雙曲線的解析式為y=-

12

x

；

（2）作EH⊥y軸于H，F(xiàn)Q⊥y軸于Q，如圖2，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-4，3）和C（0，6）代入得

-4m+n=3 n=6

，解得

m= 3 4 n=6

，
∴直線AC的解析式為y=

4

3

x+6，
把點(diǎn)E（-

4

3

，a）代入a=

4

3

×（-

3

4

）+6=5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4

3

，5），
∴CH=1，EH=

4

3

∵四邊形AOBC為菱形，
∴∠ACO=∠AOC，
而∠AOC=∠QOF，
∴∠AOC=∠QOF，
∵CE=OF，
∴Rt△CEH≌Rt△OFQ，
∴CH=OQ=1，EH=EQ=

4

3

，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

，-1），
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b，
把E點(diǎn)（-

4

3

，5）、F（

4

3

，-1）代入得

- 4 3 a+b=5 4 3 m+n=-1

，解得

a=- 9 4 b=2

，
∴直線EF的解析式為y=-

9

4

x+2，
令x=0，則y=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；

（3）存在．
∵S_△AMC=2S_△AOC，
而OC=6，
把直線AC向下平移12個(gè)單位，得直線l，則l的解析式為y=

4

3

x-6，
∴直線l與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M點(diǎn)，
解方程組

y= 3 4 x-6 y=- 12 x

得

x=4 y=-3

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)和解析式法確定直線交點(diǎn)坐標(biāo)．