Question

如圖，矩形OABC，點B的坐標為（3，4），沿AD對折，使得對角線AC與x軸重合，點C落在x軸上的點C′，
（1）求證：C′D⊥AC；
（2）求點D的坐標；
（3）點E，F(xiàn)是線段OA上的動點，且EF=

3

2

，當四邊形BDEF的周長最小，求E，F(xiàn)的坐標．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)求出∠ACD=∠AC′D，∠ACD+∠CAO90°，即可推出∠AC′D+∠CAO=90°，即可求出答案；
（2）設(shè)CD=C′D=x，根據(jù)勾股定理decca方程，求出方程的解即可；
（3）先做出E、F的位置，求出直線BH的解析式，求出和x軸的交點坐標即可．

解答：解：（1）∵由題意折疊，易得△CAD≌△C'AD，
∴∠ACD=∠AC'D，
又∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC═90°，
∴∠ACD+∠CAO=90°，
∴∠AC'D+∠CAO=90°，
則C'D⊥AC；

（2）∵B（3，4），矩形ABCO，
∴OA=3，AB=OC=4，由勾股定理得：AC=5，
∵延AD折疊C和C′重合，
∴CD=C′D，AC′=AC=5，
∴OC′=5-3=2，
設(shè)C′D=CD=x，則OD=4-x，
在Rt△C′OD中，由勾股定理得：x²=2²+（4-x）²，
解得：x=2.5，
即CD=2.5，
∴OD=4-2.5=1.5，
即D的坐標是（0，1.5）；

（3）作點D關(guān)于x軸對稱點D'，過點D'作x軸的平行線，取D'H=EF=

3

2

，連接BH，交x軸于點F，再在x軸上取FE=

3

2

，得點E，
OD=OD′=1.5，
設(shè)直線BH的解析式是y=kx+b，
把B（3，4），H（

3

2

，-1.5）代入得：

4=3k+b -1.5= 3 2 k+b

，
解得：k=

11

3

．b=-7，
直線BH的解析式是y=

11

3

x-7，
把y=0代入得：0=

11

3

x-7，
解得：x=

21

11

，
即OF=

21

11

，
OE=

21

11

-

3

2

=

9

22

即E（

9

22

，0 ），F(xiàn)（

21

11

，0）．

點評：本題考查了求一次函數(shù)的解析式，軸對稱性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，用了方程思想，題目比較好，有一定的難度．