Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，⊙O的切線BM與AO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，連接AC，CM．

（1）若AB=4，求的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）

（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

Answer 1

（1）解：∵OA=OB，E為AB的中點(diǎn)，

∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，

∵OE⊥AB，E為OD中點(diǎn)，

∴OE=OD=OA，

∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，

設(shè)OA=x，則OE=x，AE=x，

∵AB=4，

∴AB=2AE=x=4，

解得：x=4，

則的長(zhǎng)l==；

（2）證明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，

∴∠BAM=∠BMA=30°，

∴AB=BM，

∵BM為圓O的切線，

∴OB⊥BM，

在△COM和△BOM中，

，

∴△COM≌△BOM（SAS），

∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，

∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，

∴CM∥AB，

∴四邊形ABMC為菱形．