Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，點E在邊AB上（不與點A、B重合），過點D作DF⊥DE，交邊BC的延長線于點F．

（1）求證：△DAE∽△DCF．

（2）設線段AE的長為x，線段BF的長為y，求y與x之間的函數(shù)關系式．

（3）當四邊形EBFD為軸對稱圖形時，則cos∠AED的值為　 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝x+4；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質和余角的性質得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后運用相似三角形的判定定理證明即可；

（2）運用相似三角形的性質解答即可；

（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質可得DE=BE，再運用勾股定理可求出AE，DE的長，最后用余弦的定義解答即可.

（1）證明∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，

∴∠ADE+∠EDC＝90°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDC+∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，

∴△DAE∽△DCF；

（2）∵△DAE∽△DCF，

∴ ，

∴

∴y＝x+4；

（3）∵四邊形EBFD為軸對稱圖形，

∴DE＝BE，

∵AD2+AE2＝DE2，

∴16+AE2＝（6﹣AE）2，

∴AE＝，

∴DE＝BE＝，

∴cos∠AED＝ ＝，

故答案為：．