【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx﹣5交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(﹣5,0)和點(diǎn)C(1,0),過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D.
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上,求△EAD的面積;
(3)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),△ABP的面積最大,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積.
【答案】(1)y=x2+4x﹣5;(2)20;(3)
【解析】
(1)根據(jù)題意可以求得a、b的值,從而可以求得拋物線的表達(dá)式;(2)根據(jù)題意可以求得AD的長(zhǎng)和點(diǎn)E到AD的距離,從而可以求得△EAD的面積;(3)根據(jù)題意可以求得直線AB的函數(shù)解析式,再根據(jù)題意可以求得△ABP的面積,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題.
(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣5交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(﹣5,0)和點(diǎn)C(1,0),
∴,得,
∴此拋物線的表達(dá)式是y=x2+4x﹣5;
(2)∵拋物線y=x2+4x﹣5交y軸于點(diǎn)A,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣5),
∵AD∥x軸,點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上,
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是5,點(diǎn)E到AD的距離是10,
當(dāng)y=﹣5時(shí),﹣5=x2+4x﹣5,得x=0或x=﹣4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣4,﹣5),
∴AD=4,
∴△EAD的面積是:=20;
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p2+4p﹣5),如右圖所示,
設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,﹣5),點(diǎn)B(﹣5,0)的直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n,
,得,
即直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣x﹣5,
當(dāng)x=p時(shí),y=﹣p﹣5,
∵OB=5,
∴△ABP的面積是:S=,
∵點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),
∴﹣5<p<0,
∴當(dāng)p=﹣時(shí),S取得最大值,此時(shí)S= ,點(diǎn)p的坐標(biāo)是(-,﹣),
即點(diǎn)p的坐標(biāo)是(-,﹣)時(shí),△ABP的面積最大,此時(shí)△ABP的面積是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(0,3)和C(0,﹣),點(diǎn)A在x軸正半軸上,且滿足∠BAO=30°.
(1)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,交AO于點(diǎn)F,點(diǎn)G為線段OC上一動(dòng)點(diǎn),連接GF,將△OFG沿FG翻折使點(diǎn)O落在平面內(nèi)的點(diǎn)O′處,連接O′C,求線段OF的長(zhǎng)以及線段O′C的最小值;
(2)如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(﹣1,0),將△BDC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得BC⊥AB于點(diǎn)B,將旋轉(zhuǎn)后的△BDC沿直線AB平移,平移中的△BDC記為△B′D′C′,設(shè)直線B′C′與x軸交于點(diǎn)M,N為平面內(nèi)任意一點(diǎn),當(dāng)以B′、D′、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)P是y軸正半軸上一點(diǎn),且△PAB是以AB為腰的等腰三角形,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)作直線BC,若點(diǎn)Q是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),三角形QBC面積是否有最大值,若有,請(qǐng)求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)。
(1)求拋物線的解析式。
(2)點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)(不與B,C重合),過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于N若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)。
(3)在(2)的條件下,連接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、,交軸于點(diǎn),在軸上有一點(diǎn),連接.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值;
(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,且過(guò)點(diǎn)A(3,0),二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=1,下列結(jié)論:
①b2>4ac;②ac>0; ③當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減。 ④3a+c>0;⑤任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm.
其中結(jié)論正確的序號(hào)是( 。
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,M是AD的中點(diǎn),AB=4,N是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),△DMN 的周長(zhǎng)最小是2+,則BD的長(zhǎng)為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c均是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0),A(4,4),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,且拋物線對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P.
(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線l,若點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),連接QB.
①若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
②若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,當(dāng)線段AD的長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=12cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度均為1cm/s.以AQ、PQ為邊作AQPD,連接DQ,交AB于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位:s)(0≤t≤6).解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),AQPD為矩形.
(2)當(dāng)t為何值時(shí),AQPD為菱形.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積,若存在,請(qǐng)求出t值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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