Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）作直線(xiàn)BC，若點(diǎn)Q是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，三角形QBC面積是否有最大值，若有，請(qǐng)求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，）或（ 0，）；（3）點(diǎn)Q（， - ）．

【解析】

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)代入y=-x2+bx+c即可求出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0）可得AB=4，由△PAB是以AB為腰的等腰三角形，可分兩種情況PA=AB=4時(shí)，PB=AB=4時(shí)，根據(jù)勾股定理分別求出OP的長(zhǎng)即可求解；

（3）由拋物線(xiàn)得C（0，-3），求出直線(xiàn)BC的解析式，過(guò)點(diǎn)Q作QM∥y軸，交BC于點(diǎn)M，設(shè)Q（x，x2-2x-3），則M（x，x-3），根據(jù)三角形QBC面積S=QMOB得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及△QBC面積的最大值

解：（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

所以可得解得．

所以該拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2-2x-3；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0）可得AB=4．

因?yàn)?/span>P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，可得PA=4或PB=4．

當(dāng)PA=4時(shí)，因?yàn)?/span>A（﹣1，0），所以OP==，所以P（ 0，）；

當(dāng)PB=4時(shí)，因?yàn)锽（3，0），所以OP==，所以P（ 0，）；

所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，）或（ 0，）；

（3）對(duì)于y=x2-2x-3，當(dāng)x=0時(shí)，y= -3，所以點(diǎn)C（0，-3）

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），B（3，0），C（0，-3）

可得解得所以直線(xiàn)BC的解析式為：y=x-3．

過(guò)點(diǎn)Q作QM∥y軸，交BC于點(diǎn)M，設(shè)Q（x，x2-2x-3），則M（x，x-3）．

所以三角形QBC的面積為S=QMOB=[（ x-3）-（x2-2x-3）]×3

= -x2+x．

因?yàn)?/span>a=-<0，函數(shù)圖象開(kāi)口方向向下，所以函數(shù)有最大值，即三角形QBC面積有最大值．此時(shí)，x= -=，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-，所以點(diǎn)Q（，-）．