Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，且，頂點(diǎn)為．

（1）求的值；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；

（3）已知點(diǎn)，，若函數(shù)的圖象與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）由對(duì)稱軸公式列出a的方程解出a便可；

（2）把x＝k代入拋物線的解析式，便可求得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分五種情況：k＞1；k＝1；0＜k＜1；k＝0；k＜0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別求k的取值范圍．

解：（1）∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝k，

∴

∴a＝1；

（2）把a＝1代入得，y＝x22kx＋k2＋k，

當(dāng)x＝k時(shí)，y＝k22k2＋k2＋k＝k，

∴頂點(diǎn)P（k，k）；

（3）∵函數(shù)＝x22kx＋k2＋k＝（xk）2＋k，

∴拋物線的開(kāi)口向上，拋物線的對(duì)稱軸為x＝k，頂點(diǎn)為（k，k），

∵點(diǎn)A（0，1），B（2，1），

∴①當(dāng)k＞1時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在直線AB的上方，拋物線與直線AB沒(méi)有公共點(diǎn)，則函數(shù)（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)；

②當(dāng)k＝1時(shí)，頂點(diǎn)（1，1）在線段AB上，即函數(shù)（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

③當(dāng)k＜0時(shí)，則x＝k＋1或k1時(shí)，y＝1＋k＜1，函數(shù)（k1≤x≤k＋1）的圖象在線段AB下方，沒(méi)有公共點(diǎn)；

④當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)，與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1）；

⑤當(dāng)0＜k＜1時(shí)，若函數(shù)圖象過(guò)A（0，1）時(shí)，k2＋k＝1，解得k＝

＜0（舍去），或k＝，

∵0＜＜1，

∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，當(dāng)≤k＜1時(shí)，函數(shù)（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)0＜k＜時(shí)，函數(shù)（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

綜上所述：若函數(shù)（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則0≤k＜或k＝1