Question

如圖，已知二次函數y=ax²+c圖象的頂點為點M（0，-9），且經過點A（3，0）．
（1）求此二次函數的關系式；
（2）設點D（x，y）是此二次函數圖象上一動點，且位于第三象限，點C的坐標為（-5，0），四邊形ABCD是以AC為對角線的平行四邊形．
①求平行四邊形ABCD的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當點B在此二次函數圖象的對稱軸上時，求平行四邊形ABCD的面積；
③當平行四邊形ABCD的面積為64時，請判斷平行四邊形ABCD是否為菱形？
④是否存在點D，使平行四邊形ABCD為正方形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、M兩點坐標代入y=ax²+c即可求得拋物線的解析式；
（2）①根據D點坐標，用y表示出平行四邊形ABCD的面積S，進而便可求出平行四邊形ABCD的面積S與x之間的函數關系式，
②過點D作DE⊥AC，根據三角形全等的性質，求出OE的長，便可求出平行四邊形ABCD的面積，
③根據平行四邊形的面積求出D點坐標，進而可判斷平行四邊形ABCD為菱形，
④不存在，先求出使平行四邊形ABCD為正方形是D點的坐標，進而判斷D點不在拋物線上，即不存在D點坐標滿足題中條件．

解答：解：（1）由題意得

c=-9 9a+c=0

（1分）
解之，得

a=1 c=-9

（2分）
故二次函數的關系式為y=x²-9（3分）

（2）①D（x，y）在二次函數的圖象上，且位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示點D到AC的距離．
∵AC是平行四邊形ABCD的對角線，
∴S=2S△ACD=2×

1

2

×AC•|y|=-8y=-8x2+72．（5分）
當y=0時，x²-9=0，得x=±3
所以二次函數的圖象與x軸的另一個交點是（-3，0），
所以，自變量x的取值范圍是-3＜x＜0．（6分）
②如圖：當點B在此二次函數圖象的對稱軸上時，
過點D作DE⊥AC，垂足為點E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DCE=∠BAO，∠CED=∠AOB=90°，
∴△ABO≌△CDE
∵點B在二次函數的圖象的對稱軸上OA=3，
∴CE=OA=3，
所以OE=2，所以當x=-2時，y=-5，S=40；（8分）
③根據題意，當S=64時，即-8x²+72=64．
解之，得x₁=1，x₂=-1．
故所求的點D有兩個，分別為D₁（1，-8）（舍去），D₂（-1，-8）．（9分）
所以平行四邊形ABCD不是菱形（或者說明點D不在第三象限）；
點D₂（-1，-8）滿足DC=DA，
所以平行四邊形ABCD是菱形．（10分）
④當AC⊥BD，且AC=BD時，
平行四邊形ABCD是正方形，此時點D的坐標只能是（-1，-4）．（11分）
而坐標為（-1，-4）的點不在二次函數的圖象上，
故不存在這樣的點D，使平行四邊形ABCD為正方形．（12分）

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和平行四邊形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．