Question

對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：
第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開；
第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點A′處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA′，EA′，展開，如圖1；
第三步：再沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，得到折痕EF，同時得到線段B′F，展開，如圖2．
（1）證明：∠ABE=30°；
（2）證明：四邊形BFB′E為菱形．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,菱形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)點M是AB的中點判斷出A′是EF的中點，然后判斷出BA′垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BE=BF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠A′BE=∠A′BF，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE=∠A′BE，然后根據(jù)矩形的四個角都是直角計算即可得證；
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

解答：證明：（1）∵對折AD與BC重合，折痕是MN，
∴點M是AB的中點，
∴A′是EF的中點，
∵∠BA′E=∠A=90°，
∴BA′垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴∠A′BE=∠A′BF，
由翻折的性質(zhì)，∠ABE=∠A′BE，
∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，
∴∠ABE=

1

3

×90°=30°；

（2）∵沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，
∴BE=B′E，BF=B′F，
∵BE=BF，
∴BE=B′E=B′F=BF，
∴四邊形BFB′E為菱形．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，熟記各性質(zhì)并準確識圖判斷出BA′垂直平分EF是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．