Question

如圖，在△ACE中，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．求證：△FMH是等腰直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先要連接MB、MD，然后證明△FBM≌△MDH，從而求出兩角相等，且有一角為90°．

解答：證明：連接MB、MD，如圖2，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P，
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，
∴MD∥BC，且MD=

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2

AC=BC=BF；
MB∥CD，且MB=

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2

CE=CD=DH（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半），
∴四邊形BCDM是平行四邊形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

BF=HD ∠FBM=∠HDM BM=DM

∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．
∴∠FMB+∠HMD=180°-∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB=∠E，
同理：∠DME=∠A．
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．
由已知可得：BM=

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2

CE=AB=BF，
∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，
∴∠FMH=180°-（∠FMB+∠HMD）-（∠AMB+∠DME），
=180°-（180°-∠FBM）-∠CBM，
=∠FBM-∠CBM
=∠FBC=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)和判定應(yīng)用，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，本題綜合考查了等腰三角形的判定，偏難，學(xué)生要綜合運(yùn)用學(xué)過的幾何知識(shí)來證明．