Question

如圖，等腰三角形ABO的斜邊OB在x軸上，O是坐標原點，點A在第一象限內(nèi)，OB=2，點C是線段OB上一動點（不與O、B重合），△OAC的外接圓P與y軸的另一交點為D，求線段CD長度的最小值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連接PA，AC，作AH⊥OB，如圖，設(shè)⊙P的半徑為R，由于∠DOC=90°，根據(jù)圓周角定理得到DC為⊙P的直徑，則有DC=2R，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠AOB=90°，AH=

1

2

OB=1，于是利用圓周角定理得到∠APC=2∠AOC=90°，則可判斷△PAC為等腰直角三角形，所以AC=

2

R；由于要使CD最小，則R最小，而AC最小時，R最小，此時AC=AH=1，即R=

2

2

，于是得到線段CD長度的最小值=

2

．

解答：解：連接PA，AC，作AH⊥OB，如圖，設(shè)⊙P的半徑為R，
∵∠DOC=90°，
∴DC為⊙P的直徑，
∴DC=2R，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，AH=

1

2

OB=1，
∴∠APC=2∠AOC=90°，
而PA=PC=R，
∴AC=

2

R，
當(dāng)R最小時，CD最小，
而AC最小時，R最小，此時AC=AH=1，即

2

R=1，R=

2

2

，
∴線段CD長度的最小值=2×

2

2

=

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理；會運用等腰直角三角形的性質(zhì)計算角度和線段的長．