Question

已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

 

Answer 1

(1)（2，6）．(2) m=（0＜t＜11）．(3) （，6）或（，6）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；

（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案；

（Ⅲ）首先過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與m=，即可求得t的值．

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90°，OB=6，

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．

∵OP2=OB2+BP2，

即（2t）2=62+t2，

解得：t1=2，t2=-2（舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，

∴∠OPB+∠QPC=90°，

∵∠BOP+∠OPB=90°，

∴∠BOP=∠CPQ．

又∵∠OBP=∠C=90°，

∴△OBP∽△PCQ，

∴，

由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11-t，CQ=6-m．

∴．

∴m=（0＜t＜11）．

（Ⅲ）過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，

∴∠PEA=∠QAC′=90°，

∴∠PC′E+∠EPC′=90°，

∵∠PC′E+∠QC′A=90°，

∴∠EPC′=∠QC′A，

∴△PC′E∽△C′QA，

∴，

∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，

∴AC′=，

∴，

∴，

∴3（6-m）2=（3-m）（11-t）2，

∵m=，

∴3（-t2+t）2=（3-t2+t-6）（11-t）2，

∴t2（11-t）2=（-t2+t-3）（11-t）2，

∴t2=-t2+t-3，

∴3t2-22t+36=0，

解得：t1=，t2=，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）．

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.勾股定理；5.相似三角形的判定與性質(zhì)．