Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=a（x-2）²-1圖象的頂點為P，與x軸交點為A、B，與y軸交點為C，連接BP并延長交y軸于點D．
（1）寫出點P的坐標；
（2）連接AP，如果△APB為等腰直角三角形，求a的值及點C、D的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BC、AC、AD，點E（0，b）在線段CD（端點C、D除外）上，將△BCD繞點E逆時針方向旋轉90°，得到一個新三角形．設該三角形與△ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S，選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結果；判斷當b為何值時，重疊部分的面積最大寫出最大值．

Answer 1

（1）P（2，-1）

（2）因為△APB為等腰直角三角形，P點坐標為（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
將A點坐標代入二次函數(shù)y=a（x-2）²-1得：
0=a（1-2）²-1，
所以a=1
所以二次函數(shù)為：y=x²-4x+3
所以C（0，3），
所以OC=OB，∠OBC=45°
又因為∠ABP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD為等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；

（3）①當0≤b＜3時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為△CEM．

因為CE=C’E，
所以C點恰好在直線B′C′上，
CE=3-b，AC直線方程為：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=

3-b

3

所以重疊部分△CEM的面積為：
S=

1

2

×（3-b）×

3-b

3

=

(3-b)2

6

（0≤b＜3）；
②當-1＜b＜0時，旋轉后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為五邊形EMANQ，
因為ED=ED′=EQ，
所以D’點恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直線方程為：y=3-3x，
AD直線方程為：y=3x-3，
D’Q直線方程為：y=3+2b-x，
所以EM=

3+b

3

，N（-b，3+3b）
所以重疊部分五邊形EMANQ的面積為：
S=S_△ACD-S_△CQN-S_△EMD
=

1

2

×6×1-

1

2

×（-2b）×（-b）-

1

2

×（3+b）×

3+b

3

=-

7b2

6

-b+

3

2

（-1＜b＜0）；
③當-3＜b≤-1時，旋轉后的△B’C’D’與△ACD的重疊部分為四邊形EMNQ；
因為ED=ED’=EQ，
所以D′點恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直線方程為：y=3x-3，
D′Q直線方程為：y=3+2b-x，
所以EM=

3+b

3

，N（

3+b

2

，

3(1+b)

2

），
所以重疊部分四邊形EMNQ的面積為：
S=S_△DNQ-S_△EMD=

1

2

×(6+2b)×

3+b

2

-

1

2

×(3+b)×

3+b

3

=

(3+b)2

3

（-3＜b≤1），
所以重疊部分的面積為：S=

(3-b)2 6 (0≤b＜3) - 7b2 6 -b+ 3 2 (-1＜b＜0) (3+b)2 3 (-3＜b≤-1)

，
當0≤b＜3時，b=0時，S最大，且S最大=

3

2

，
當-1＜b＜0時，S=-

7b2

6

-b+

3

2

=--

7

6

(b+

3

7

)2+

12

7

，
b=-

3

7

時，S最大，且S最大=

12

7

，
當-3＜b≤-1時，b=-1時，S最大，且S最大=

4

3

，
綜上所述：當b=-

3

7

時，S最大=

12

7

．