【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(2,﹣1),且與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與A不重合),過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸,交AC于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)P(x,y),PD的長(zhǎng)度為l,求l與x的函數(shù)關(guān)系式,并求l的最大值;
(3)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線的頂點(diǎn)為Q(2,﹣1),
∴設(shè)y=a(x﹣2)2﹣1,
將C(0,3)代入上式得3=a(0﹣2)2﹣1,
解得:a=1,
∴y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3
(2)
解:令y=0,得x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,
∴A (3,0),B(1,0)
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n,
將A(3,0),C(0,3)代入上式得, ,解得: ,
∴y=﹣x+3.
∵D在y=﹣x+3上,P在y=x2﹣4x+3上,且PD∥y軸,
∴D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),
∴l(xiāng)=PD=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=
∴當(dāng) 時(shí),l取得最大值為
(3)
解:分兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖1,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,
由(2)可知B(1,0),
∴P(1,0).
②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖2,
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠OAD=45°,
當(dāng)∠DAP=90°時(shí),∠OAP=45°,
∴AO平分∠DAP,
又∵PD∥y軸,
∴PD⊥AO,
∴P與D關(guān)于x軸對(duì)稱,
∵D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),
∴(﹣x+3)+(x2﹣4x+3)=0,
整理得x2﹣5x+6=0,
∴x1=2,x2=3(舍去),
當(dāng)x=2時(shí),y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1,
∴P的坐標(biāo)為P(2,﹣1).
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0),P(2,﹣1)
【解析】(1)設(shè)y=a(x﹣2)2﹣1,將C(0,3)代入求得a的值,從而得到拋物線的解析式;(2)令y=0,得x2﹣4x+3=0,求得方程方程的解,從而可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n,將A(3,0),C(0,3)代入可求得m、n的值,故此可得到AC的解析式為y=﹣x+3上,設(shè)D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),然后依據(jù)l=Dy﹣Py列出l與x的函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)二次根式的性質(zhì)可求得PD的最大值;(3)①當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),可證明∠DAO=∠PAO,然后可證明點(diǎn)D與P關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),依據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可列出關(guān)于x的方程,從而可求得x的值,故此可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)對(duì)本校初2017屆500名學(xué)生中中考參加體育加試測(cè)試情況進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)男生1000米及女生800米測(cè)試成績(jī)整理,繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖,(圖①,圖②),請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)該校畢業(yè)生中男生有 人;扇形統(tǒng)計(jì)圖中a= ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,這名學(xué)生該項(xiàng)成績(jī)?cè)?/span>8分及8分以下的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-5),且與正比例函數(shù)y=x的圖象相交于點(diǎn)(2,a),求:
(1)a的值.
(2)k,b的值.
(3)這兩個(gè)函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于的方程有增根,則的值為__________.
【答案】2
【解析】方程兩邊都乘(x2),得
x+x2=a,即a=2x2.
分式方程的增根是x=2,
∵原方程增根為x=2,
∴把x=2代入整式方程,得a=2,
故答案為:2.
點(diǎn)睛:本題考查了分式方程的增根,增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.把增根代入化為整式方程的方程即可求出a的值.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,6)和(m,-3),則m= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,6),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,1).
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)結(jié)合圖像寫出不等式的解集;
(3)點(diǎn)E為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若S△AEB=10,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1)y=,y=-x+7(2)0<x<2或x>12(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5)或(0,9)
【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式,求出反比例函數(shù)的解析式,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入已求出的反比例函數(shù)解析式,得出n的值,得出點(diǎn)B的坐標(biāo),再把A、B的坐標(biāo)代入直線,求出k、b的值,從而得出一次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,m),連接AE,BE,先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(0,7),得出PE=|m﹣7|,根據(jù)S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10,求出m的值,從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo).
解:(1)把點(diǎn)A(2,6)代入y=,得m=12,則y=.
把點(diǎn)B(n,1)代入y=,得n=12,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(12,1).
由直線y=kx+b過(guò)點(diǎn)A(2,6),點(diǎn)B(12,1),
則所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x+7.
(2)或;
(3)如圖,直線AB與y軸的交點(diǎn)為P,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,m),連接AE,BE,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,7).∴PE=|m﹣7|.
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10,∴×|m﹣7|×(12﹣2)=10.
∴|m﹣7|=2.∴m1=5,m2=9.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5)或(0,9).
【題型】解答題
【結(jié)束】
26
【題目】太倉(cāng)市為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展,決定修筑一條沿江高速鐵路,為了使工程提前半年完成,需要將工作效率提高25%。原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要多少個(gè)月?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù) (為常數(shù),且)的圖像交于
兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在軸上找一點(diǎn),使的值最小,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有兩個(gè)與,保持不動(dòng),且的一邊,另一邊DE與直線OB相交于點(diǎn)F.
若,,解答下列問(wèn)題:
如圖,當(dāng)點(diǎn)E、O、D在同一條直線上,即點(diǎn)O與點(diǎn)F重合,則______;
當(dāng)點(diǎn)E、O、D不在同一條直線上,畫出圖形并求的度數(shù);
在的前提下,若,,且,請(qǐng)直接寫出的度數(shù)用含、的式子表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,∠AOB=120°,CE∥BD,DE∥AC,若AD=4,則四邊形CODE的周長(zhǎng) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】文文和彬彬在證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時(shí),畫出圖形,寫出“已知”,“求證”(如圖),她們對(duì)各自所作的輔助線描述如下:
文文:“過(guò)點(diǎn)A作BC的中垂線AD,垂足為D”;
彬彬:“作△ABC的角平分線AD”.
數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后,說(shuō):“彬彬的作法是正確的,而文文的作法需要訂正.”
(1)請(qǐng)你簡(jiǎn)要說(shuō)明文文的輔助線作法錯(cuò)在哪里;
(2)根據(jù)彬彬的輔助線作法,完成證明過(guò)程.
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