Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=﹣x+b交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，S△AOB=8．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）直線a垂直平分OB交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線a上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．

①用含m的代數(shù)式表示△ABP的面積；

②當(dāng)S△ABP=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③在②的條件下，在坐標(biāo)軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△ABQ與△ABP面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+4；

（2）①S△ABP=2m﹣4；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）；③存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可找出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合S△AOB=8即可求出b值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①由OB的長(zhǎng)度結(jié)合直線a垂直平分OB，可得出OE、BE的長(zhǎng)度，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可用含m的代數(shù)式表示出DP的值，再利用三角形的面積公式即可用含m的代數(shù)式表示△ABP的面積；

②由①的結(jié)論結(jié)合S△ABP=6，即可求出m值，此題得解；

③分點(diǎn)Q在x軸及y軸兩種情況考慮，利用三角形的面積公式即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解．

解：（1）∵直線AB：y=﹣x+b交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0）．

∵S△AOB=b2=8，

∴b=±4．

∵點(diǎn)A在y軸正半軸上，

∴b=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+4；

（2）①∵直線a垂直平分OB，OB=4，

∴OE=BE=2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣x+4=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m）（m＞2），

∴PD=m﹣2，

∴S△ABP=S△APD+S△BPD，

=DPOE+DPBE，

=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；

②∵S△ABP=6，

∴2m﹣4=6，

∴m=5，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）；

③假設(shè)存在．

當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為（x，0），

∵S△ABQ=AOBQ=×4×|x﹣4|=6，

∴x1=1，x2=7，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（7，0）；

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為（0，y），

∵S△ABQ=BOAQ=×4×|y﹣4|=6，

∴y1=1，y2=7，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）或（0，7）．

綜上所述：假設(shè)成立，即在坐標(biāo)軸上，存在一點(diǎn)Q，使得△ABQ與△ABP面積相等，且點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．