【題目】已知:拋物線C1:y=x2﹣2a x+2a+2 頂點P在另一個函數(shù)圖象C2上
(1)求證:拋物線C1必過定點A(1,3);并用含的a式子表示頂點P的坐標;
(2)當拋物線C1的頂點P達到最高位置時,求拋物線C1解析式;并判斷是否存在實數(shù)m、n,當m≤x≤n時恰有3m≤y≤3n,若存在,求出求m、n的值;若不存在,說明理由;
(3)拋物線C1和圖象C2分別與y軸交于B、C點,當△ABC為等腰三角形,求a的值.
【答案】
(1)解:∵當x=1時,y=1﹣2a+2a+2=3,
∴拋物線C1必過定點A(1,3),
∵拋物線C1:y=x2﹣2ax+2a+2=(x﹣a)2﹣a 2+2a+2,
∴頂點P(a,﹣a 2+2a+2)
(2)解:∵yP=﹣a 2+2a+2=﹣(a﹣1)2+3≤3
∴當a=1時,P達到最高位置(1,3)
此時拋物線C1解析式為y=x2﹣2x+4,
∴y=x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3≥3,
∵當m≤x≤n時恰有3m≤y≤3n,
∴3≤3m≤y≤3n,
∴1≤m≤n,
∴當1≤m≤x≤n,y隨x的增大而增大,
∴當x=m時,y=3m,當x=n時,y=3n,
則 ,
解得: ,
∵1≤m≤n,
∴m=1、n=4;
(3)解:∵拋物線C1:y=x2﹣2ax+2a+2與y軸交于B點
∴B(0,2a+2)
∵函數(shù)yP=﹣x 2+2x+2圖象C2與y軸交于C點
∴C(0,2)
∵A(1,3)
∴由勾股定理得AC= ,BC=|2a|,AB2=(2a﹣1)2+1
∵△ABC為等腰三角形,
∴①AC=BC ②BC2=AB2 ③AC2=AB2
∴ =|2a|或4a2=(2a﹣1)2+1或2=(2a﹣1)2+1,
∴ 或 或a=1或a=0(B與C重合,舍去),
即a=± 或a= 或a=1
【解析】(1)因為當x=1時,拋物線的值是3,所以拋物線C1必過定點A(1,3),用配方法寫出拋物線的頂點式即可;(2)根據(jù)拋物線的頂點式得出P點達到最高位置的坐標,求出拋物線C1的解析式,通過分析討論求出m、n的值;(3)由拋物線C1與y軸交于B點,得到B點坐標的表達式,由拋物線C2與y軸交于C點,得到C點坐標,根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB2的值,根據(jù)等腰三角形的性質,△ABC為等腰三角形求出a的值,此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.
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【題目】如圖,點P為△ABC的內心,延長AP交△ABC的外接圓于D,在AC延長線上有一點E,滿足AD2=ABAE.
求證:DE是⊙O的切線.
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【題目】如圖,⊙O的半徑為4,△ABC是⊙O的內接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與∠BOC互補,則弦BC的長為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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【題目】甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運往B地,已知甲出發(fā)0.5h后乙開始出發(fā),如圖,線段OP、MN分別表示甲、乙兩車離A地的距離S(km)與時間t(h)的關系,請結合圖中的信息解決如下問題:
(1)計算甲、乙兩車的速度及a的值;
(2)乙車到達B地后以原速立即返回.
①在圖中畫出乙車在返回過程中離A地的距離S(km)與時間t(h)的函數(shù)圖象;
②請問甲車在離B地多遠處與返程中的乙車相遇?
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,A(a,0),C(b,2),且滿足(a+2)2+=0,過點C作CB⊥x軸于點B.
(1)求A、C兩點坐標;
(2)若過點B作BD∥AC交y軸于點D,且AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB,如圖2,求∠AED的度數(shù).
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【題目】快遞公司準備購買機器人來代替人工分揀已知購買- 臺甲型機器人比購買-臺乙型機器人多萬元;購買臺甲型機器人和臺乙型機器人共需萬元.
(1)求甲、乙兩種型號的機器人每臺的價格各是多少萬元;
(2)已知甲型、乙型機器人每臺每小時分揀快遞分別是件、件,該公司計劃最多用萬元購買臺這兩種型號的機器人.該公司該如何購買,才能使得每小時的分揀量最大?
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【題目】某中學為了創(chuàng)建書香校園,去年購買了一批圖書.其中科普書的單價比文學書的單價多4元,用1200元購買的科普書與用800元購買的文學書本數(shù)相等.
(1)求去年購買的文學書和科普書的單價各是多少元?
(2)若今年文學書的單價比去年提高了25%,科普書的單價與去年相同,為了普及科普知識,書店舉辦了每買三本科普書就贈一本文學書的優(yōu)惠活動,這所中學今年計劃在優(yōu)惠活動期間,再購進文學書和科普書共200本,且購買文學書和科普書的總費用不超過1880元,這所中學今年最多能購進多少本文學書?
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【題目】如圖,已知直線AB與CD相交于點0,OE⊥AB,OF⊥CD,OM是∠BOF的角平分線
(1)若∠AOC=25°,求∠BOD和∠COE的度數(shù).
(2)若∠AOC=a,求∠EOM的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)
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【題目】如圖,AC,BD相交于點O,且OA=OC=4,OB=OD=6,P是線段BD上一動點,過點P作EF∥AC,與四邊形的兩條邊分別交于點E,F(xiàn),設BP=x,EF=y,則下列能表示y與x之間函數(shù)關系的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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