Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，點C是⊙O上的一點，連結(jié)EC、BC、AC，且∠BCE＝∠BAC.

（1）求證：EC是⊙O的切線.

（2）過點A作AD垂直于直線EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB＝90°

即∠1＋∠2＝90°

∵OC＝OA

∴∠1＝∠A

又∵∠A＝∠BCE

∴∠BCE＝∠1

∴∠BCE＋∠2＝90°

即OC⊥EC

又EC過半徑OC的外端

∴EC是⊙O的切線

（2）由（1）可知OC⊥EC

又AD⊥EC

∴OC∥AD

∴

設⊙O的半徑為r

在Rt△ADE中AD＝3，ED＝4，則AE＝5

也即OE＝5－r；OC＝r

∴

∴

即⊙O的半徑為