Question

在平面直角坐標系中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），那么點A_n的縱坐標是（　�。�

• A、(

  3

  2

  )n-1
• B、(

  3

  2

  )n
• C、(

  3

  2

  )2n
• D、(

  3

  2

  )n+1

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,等腰直角三角形

專題：規(guī)律型

分析：先利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式為y=

1

5

x+

4

5

，再作A₁C⊥x軸于C，A₂D⊥x軸于D，A₃H⊥x軸于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得A₁C=1，A₂D=

3

2

，設A₃H=t，于是可表示出A₃的坐標為（5+t，t），接著把A₃（5+t，t）代入y=

1

5

x+

4

5

可解得t=

9

4

，所以點A₃的縱坐標為（

3

2

）²，同理可得點A₄的縱坐標為（

3

2

）³，按此規(guī)律可得點A_n的縱坐標為（

3

2

）^n-1．

解答：解：把A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

）代入y=kx+b得

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，解得

k= 1 5 b= 4 5

，
所以一次函數(shù)解析式為y=

1

5

x+

4

5

，
作A₁C⊥x軸于C，A₂D⊥x軸于D，A₃H⊥x軸于H，如圖，
則A₁C=1，A₂D=

3

2

，設A₃H=t，
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，
∴OB₁=2，B₁B₂=3，B₂H=t，
∴A₃的坐標為（5+t，t），
把A₃（5+t，t）代入y=

1

5

x+

4

5

得

1

5

（5+t）+

4

5

=t，解得t=

9

4

，
即點A₃的縱坐標為（

3

2

）²，
同理可得點A₄的縱坐標為（

3

2

）³，
所以點A_n的縱坐標為（

3

2

）^n-1．
故選A．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線；直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．