Question

在平面直角坐標(biāo)系中A（2，-3），B（4，-1），若C（a+3，0），D（a，0），則當(dāng)a=

 

時四邊形ABCD周長最短．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（2，3），把A′向右平移3個單位得到點(diǎn)B′（5，3），連接BB′，與x軸交于點(diǎn)C，易得四邊形A′B′DC為平行四邊形，得到DA′=CB′=DA，則AD+BC=BB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時AD+CD最小，即四邊形ABCD的周長最短．然后用待定系數(shù)法求出直線BB′的解析式y(tǒng)=4x-17，把C（a+3，0）代入解析式即可求得a的值．

解答：解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（2，3），把A′向右平移3個單位得到點(diǎn)B′（5，3），連接BB′，與x軸交于點(diǎn)C，過A′作A′D∥BB′交x軸于D，如圖，
∴DA′=DA，
∵A′B′∥CD，
∴四邊形A′B′DC為平行四邊形，
∴DA′=CB′，
∴DA=CB′，
∴AD+BC=BB′，此時AC+BD最小，
而CD與AB的長一定，
∴此時四邊形ABDC的周長最短．
設(shè)直線BB′的解析式為y=kx+b，
把B（4，-1）、B′（5，3）分別代入得

4k+b=-1 5k+b=3

，
解得k=4，b=-17，
∴直線BB′的解析式為y=4x-17，
∵C（a+3，0），
∴4（a+3）-17=0，
解得a=

5

4

，
故答案為

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．也考查了坐標(biāo)變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．