Question

如圖，在平面直角坐標系中，A是拋物線y=

1

2

x²上的一個動點，且點A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點E，點B坐標為（0，2），直線AB交x軸于點C，點D與點C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長為m，△BED的面積為S．
（1）當m=

2

時，求S的值．
（2）求S關(guān)于m（m≠2）的函數(shù)解析式．
（3）①若S=

3

時，求

AF

BF

的值；
②當m＞2時，設(shè)

AF

BF

=k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）首先可得點A的坐標為（m，

1

2

m²），繼而可得點E的坐標及BE、OE的長度，易得△ABE∽△CBO，利用對應邊成比例求出CO，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DO，繼而可求解S的值；
（2）分兩種情況討論，（I）當0＜m＜2時，將BE•DO轉(zhuǎn)化為AE•BO，求解；（II）當m＞2時，由（I）的解法，可得S關(guān)于m的函數(shù)解析式；
（3）①首先可確定點A的坐標，根據(jù)

S△ADF

S△BDF

=

S△AEF

S△BEF

=

AF

BF

=k，可得S_△ADF=k•S_△BDF•S_△AEF=k•S_△BEF，從而可得

S△ADE

S△BDE

=

S△ADF-S△AEF

S△BDF-S△BEF

=

k(S△BDF-S△BEF)

S△BDF-S△BEF

=k，代入即可得出k的值；
②可得

S△ADE

S△BDE

=

S△ADF+S△AEF

S△BDF+S△BEF

=

k(S△BDF+S△BEF)

S△BDF+S△BEF

=k，因為點A的坐標為（m，

1

2

m²），S=m，代入可得k與m的關(guān)系．

解答：解：（1）∵點A在二次函數(shù)y=

1

2

x²的圖象上，AE⊥y軸于點E，且AE=m，
∴點A的坐標為（m，

1

2

m²），
當m=

2

時，點A的坐標為（

2

，1），
∵點B的坐標為（0，2），
∴BE=OE=1．
∵AE⊥y軸，
∴AE∥x軸，
∴△ABE∽△CBO，
∴

AE

CO

=

BE

BO

=

1

2

，
∴CO=2

2

，
∵點D和點C關(guān)于y軸對稱，
∴DO=CO=2

2

，
∴S=

1

2

BE•DO=

1

2

×1×2

2

=

2

；

（2）（I）當0＜m＜2時（如圖1），
∵點D和點C關(guān)于y軸對稱，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，
∴

BE

AE

=

BO

DO

，即BE•DO=AE•BO=2m．
∴S=

1

2

BE•DO=

1

2

×2m=m；
（II）當m＞2時（如圖2），
同（I）解法得：S=

1

2

BE•DO=

1

2

AE•OB=m，
由（I）（II）得，
S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m（m＞0且m≠2）．

（3）①如圖3，連接AD，
∵△BED的面積為

3

，
∴S=m=

3

，
∴點A的坐標為（

3

，

3

2

），
∵

S△ADF

S△BDF

=

S△AEF

S△BEF

=

AF

BF

=k，
∴S_△ADF=k•S_△BDF，S_△AEF=k•S_△BEF，
∴

S△ADE

S△BDE

=

S△ADF-S△AEF

S△BDF-S△BEF

=

k(S△BDF-S△BEF)

S△BDF-S△BEF

=k，
∴k=

S△ADE

S△BDE

=

1 2 × 3 × 3 2

3

=

3

4

；
②k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k=

1

4

m²，
如圖4，連接AD，
∵

S△ADF

S△BDF

=

S△AEF

S△BEF

=

AF

BF

=k，
∴S_△ADF=k•S_△BDF，S_△AEF=k•S_△BEF，
∴

S△ADE

S△BDE

=

S△ADF+S△AEF

S△BDF+S△BEF

=

k(S△BDF+S△BEF)

S△BDF+S△BEF

=k，
∵點A的坐標為（m，

1

2

m²），S=m，
∴k=

S△ADE

S△BDE

=

1 2 m• 1 2 m2

m

=

1

4

m²（m＞2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運用，難度較大．