Question

【題目】在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數(shù)；

（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，FE，FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）25°；（3）EF2+FD2＝2AB2，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意直接畫(huà)出圖形得出即可；

（2）利用對(duì)稱的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊進(jìn)而得出答案；

（3）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．

解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2，連接AE，

則∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

又∵∠EAP＝∠BAP＝20°，

∴∠EAD＝130°，

∴；

（3）數(shù)量關(guān)系是; EF2+FD2＝2AB2

如圖3，連接AE、BF、BD，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：

EF＝BF，AE＝AB＝AD，

∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，

∴BF2+FD2＝BD2，

∵在Rt△ABD中AD2+AB2=BD2

∴EF2+FD2＝2AB2．