Question

（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CM．

（1）求證：∠ACM=∠ABC；

（2）延長(zhǎng)BC到D，使BC=CD，連接AD與CM交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，ED=2，求△ACE的外接圓的半徑．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）如圖，連接OC

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵CM是⊙O的切線，

∴OC⊥CM，

∴∠ACM+∠ACO=90°，

∵CO=AO，

∴∠BAC=∠AOC，

∴∠ACM=∠ABC；

（2）∵BC=CD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圓的直徑是AC．

又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，∴=，

⊙O的半徑為3，∴AB=6，∴=，

∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，

∴△AEC的外接圓的半徑為．

考點(diǎn): 1．圓的性質(zhì)；2．相似三角形的性質(zhì)