如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(4,0),B(2,2).連接OB,AB.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)求證:OAB是等腰直角三角形;

(3)將OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°得到OA′B′,寫出OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標.試判斷點P是否在此拋物線上,并說明理由.

 

 

(1)y=-x2+2x;(2)證明見解析;(3)-,-2);點P不在二次函數(shù)的圖象上.

【解析

試題分析:1)將A、B的坐標代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求出拋物線的解析式;

2)過BBCx軸于C,根據(jù)A、B的坐標易求得OC=BC=AC=2,由此可證得BOC、BAC、OBC、ABC都是45°,即可證得OAB是等腰直角三角形;

(3)當OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°時,OB′正好落在y軸上,易求得OB、AB的長,即可得到OB′、A′B′的長,從而可得到A′、B′的坐標,進而可得到A′B′的中點P點的坐標,然后代入拋物線中進行驗證即可.

試題解析:(1)由題意得

解得;

該拋物線的解析式為:y=-x2+2x;

(2)過點B作BCx軸于點C,則OC=BC=AC=2;

∴∠BOC=OBC=BAC=ABC=45°;

∴∠OBA=90°,OB=AB;

∴△OAB是等腰直角三角形;

(3)∵△OAB是等腰直角三角形,OA=4,

OB=AB=2

由題意得:點A′坐標為(-2,-2

A′B′的中點P的坐標為(-,-2);

當x=-時,y=-×(-2+2×(-)≠-2;

點P不在二次函數(shù)的圖象上.

考點:二次函數(shù)綜合題.

 

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