Question

如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB均為⊙O的切線，A和B是切點(diǎn)，BC是直徑．求證：
（1）∠APB=2∠ABC；
（2）AC∥OP．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由切線長(zhǎng)定理可知∠APB=2∠APO，所以只要證明∠ABC=∠APO即可；
（2）連接AB交PO于F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PO垂直平分AB，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠CAB=90°，于是∠CAB=∠OFB，所以AC∥OP．

解答：證明：（1）連接AO，
∵PA、PB均為⊙O的切線，A和B是切點(diǎn)，
∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，
∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，
∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，
∴∠OAB=∠APB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OBA=∠APO，
∴∠APB=2∠ABC；
（2）設(shè)AB交OP于F，
∵PA，PB是圓的切線，
∴PA=PB，
∵OA=OB
∴PO垂直平分AB．
∴∠OFB=90°．
∵BC是直徑，
∴∠CAB=90°．
∴∠CAB=∠OFB．
∴AC∥OP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理：在圓中，直徑所對(duì)的圓周角是直角．