Question

已知∠ACD=90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC=DC，且DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB=

2

CB，過程如下：
解：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN∴∠ABC+∠CBD=90°，
∵CE⊥CB∴∠ABC+∠CEA=90°，
∴∠CBD=∠CEA．
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=

2

CB．

（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．
（2）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）仿照?qǐng)D（1）的解題過程即可解答．過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，根據(jù)同角（等角）的余角相等可證∠BCD=∠ACE及∠CAE=∠D，由ASA可證△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得：AE=DB，CE=CB，從而確定△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=

2

CB，由BE=AB-AE，可得BE=AB-BD，即AB-BD=

2

CB；
（2）解題思路同（1），過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，根據(jù)等角的余角相等及等式的性質(zhì)可證∠BCD=∠ACE及∠CAE=∠D，由ASA可證△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得：AE=DB，CE=CB，從而確定△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=

2

CB，由BE=AE-AB，可得BE=BD-AB，即BD-AB=

2

CB．

解答：（1）AB-BD=

2

CB．
證明：如圖（2）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE AC=DC ∠CAE=∠D

∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=

2

CB．
（2）BD-AB=

2

CB．
如圖（3）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE AC=DC ∠CAE=∠D

∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=

2

CB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等．注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．