【題目】如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A0,2)、點(diǎn)B-2,0),過(guò)點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為_________,點(diǎn)E的坐標(biāo)為_______________.

2)若拋物線經(jīng)過(guò)A、DE三點(diǎn),求該拋物線的解析式.

3)若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).

①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為,求關(guān)于平移時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍.

②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)D的坐標(biāo)為(-1,3),E的坐標(biāo)為(-3,2);

(2)拋物線的解析式為;

3Sx的函數(shù)關(guān)系式為:

當(dāng)0t≤時(shí), S=5

當(dāng)t≤1時(shí),S=5t

當(dāng)1t≤時(shí),S=-5t2+15t

②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( ).

【解析】1D-1,3)、E-3,2)(2分)

2)拋物線經(jīng)過(guò)(0,2)、(-1,3)、(-32),則

解得

3①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí),t=.

當(dāng)0t≤時(shí),如右圖

設(shè)D′C′y軸于點(diǎn)F

tanBCO= =2,又∵∠BCO=FCC′

tanFCC′=2, =2

CC′= t,FC′=2t.

SCC′F =CC′·FC′= t=5 t2

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),t=1.當(dāng)t≤1時(shí),如右圖

設(shè)D′E′y軸于點(diǎn)G,過(guò)GGHB′C′H.

RtBOC中,BC=

GH= ,CH=GH=

CC′=t,HC′=t-,GD′=t-

S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí),t=.

當(dāng)1t≤時(shí),如右圖所示

設(shè)D′E′E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N

CC′=tB′C′=,

CB′=t-,B′N=2CB′=t-

B′E′=,E′N=B′E′-B′N=-t

E′M=E′N=(-t)

SMNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+

S五邊形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -SMNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-

綜上所述,Sx的函數(shù)關(guān)系式為:

當(dāng)0t≤時(shí), S=5

當(dāng)t≤1時(shí),S=5t

當(dāng)1t≤時(shí),S=-5t2+15t

②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.如下圖所示

∵∠CB′E′=BOC=90°,BCO=B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

OB=2,B′E′=BC=

CE′=

OE′=OC+CE′=1+=

E′0

由點(diǎn)E-3,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′0 ,可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位,向上平移了個(gè)單位.

=

∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

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(1)在RtEFH中,EF= ,EH= ,點(diǎn)F坐標(biāo)為( , )(用含t的代數(shù)式表示)

(2)t為何值時(shí),HC重合?

(3)設(shè)EFHCDB重疊部分圖形的面積為S(S>0),求St的函數(shù)關(guān)系式。

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