Question

（1）如圖，AD是△ABC的角平分線，求證：

AB

AC

=

BD

CD

．
（2）如果AD是外角平分線，上面的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)?zhí)骄繒?huì)有什么結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：探究型

分析：（1）證明過(guò)C點(diǎn)作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠E，∠2=∠3，再利用AD是△ABC的角平分線得到∠1=∠2，則∠E=∠3，所以AE=AC，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得

BA

AE

=

BD

CD

，再利用等線段代換即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)C點(diǎn)作CE∥AD交AB于E，如圖2，證明方法與（1）一樣可得到

AB

AC

=

BD

CD

．

解答：（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E，如圖1，
∵CE∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AE=AC，
∵AD∥CE，
∴

BA

AE

=

BD

CD

，
∴

AB

AC

=

BD

CD

；
（2）解：上面的結(jié)論成立．理由如下：
過(guò)C點(diǎn)作CE∥AD交AB于E，如圖2，
∵CE∥AD，
∴∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=EC，
∵AD∥CE，
∴

BA

AE

=

BD

CD

，
∴

AB

AC

=

BD

CD

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．