Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C₁：y=ax²-a²（a＞0）經(jīng)過點B（1，0），頂點為A
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖2，先將拋物線 C₁向上平移使其頂點在原點O，再將其頂點沿直線y=x平移得到拋物線C₂，設(shè)拋物線C₂與直線y=x交于C、D兩點，求線段CD的長；
（3）在圖1中將拋物線C₁繞點B旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₃，直線y=kx-2k+4總經(jīng)過一定點M，若過定點M的直線l與拋物線C₃只有一個公共點，求直線l的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點B（1，0）代入y=ax²-a²，可得出a的值，即可求出拋物線C₁的解析式；
（2）設(shè)拋物線C₂的頂點為（m，m），依題意可得拋物線C₂的解析式為：y=（x-m）²+m，與直線y=x聯(lián)立，可得C，D的坐標(biāo)，過點C作CM∥x軸，過點D作DM∥y軸，可求出CM=1，DM=1，即可得出CD的值．
（3）依題意可求出拋物線C3的解析式為：y=-（x-2）²+1，由直線y=kx-2k+4總經(jīng)過一定點M，可求得定點M為（2，4），①經(jīng)過定點M（2，4），與y軸平行的直線l：x=2與拋物線C3總有一個公共點（2，1）．②經(jīng)過定點M（2，4）的直線l為一次函數(shù)y=kx-2k+4時，與y=-（x-2）²+1聯(lián)立方程組，利用△=k²-12=0，可得得k₁，k₂的值，即可得出y=2

3

x+4-4

3

或y=-2

3

x+4+4

3

，綜上所述，過定點M，共有三條直線它們分別與拋物線C₃只有一個公共點．

解答：解：（1）把點B（1，0）代入y=ax²-a²，得0=a-a²，解得a=0，或1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴y=x²-1．
（2）設(shè)拋物線C₂的頂點為（m，m），依題意拋物線C₂的解析式為：y=（x-m）²+m，
與直線y=x聯(lián)立

y=(x-m)2+m y=x

，
解方程組得：

x1=m y1=m

，

x2=m+1 y2=m+1

，
∴C（m，m），D（m+1，m+1）
過點C作CM∥x軸，過點D作DM∥y軸，

∴CM=1，DM=1，
∴CD=

2

．
（3）依題意可求出拋物線C3的解析式為：y=-（x-2）²+1，
∵直線y=kx-2k+4總經(jīng)過一定點M，
∴定點M為（2，4），
①經(jīng)過定點M（2，4），與y軸平行的直線l：x=2與拋物線C3總有一個公共點（2，1）．
②經(jīng)過定點M（2，4）的直線l為一次函數(shù)y=kx-2k+4時，與y=-（x-2）²+1聯(lián)立方程組，消去y得x²-4x+3+kx-2k+4=0，
即x²-（4-k）x+7-2k=0，△=k²-12=0，得k₁=2

3

，k₂=-2

3

，
∴y=2

3

x+4-4

3

或y=-2

3

x+4+4

3

，
綜上所述，過定點M，共有三條直線l：x=2 或y=2

3

x+4-4

3

或y=-2

3

x+4+4

3

，它們分別與拋物線C₃只有一個公共點．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．