Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)滿足PA：PC：PB=1：3：

7

，求∠APC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

專題：

分析：由于△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，則把△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C，連PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′AP=90°，P′A=PA=a，P′C=PB=3a，得到△PAP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得P′P=

2

PA=

2

a，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC²+P′P²=P′C²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：∵在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴把△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C，連PP′，如圖，
∴∠P′AP=90°，P′A=PA，P′C=PB，
∵PA：PC：PB=1：3：

7

，
設(shè)PB=a，PC=3a，PA=

7

a，
∴△PAP′為等腰直角三角形，
∴P′P=

2

PA=

2

a，∠APP′=45°，
在△P′PC中，P′C=3，P′P=

2

a，PC=

7

a，
∵（

7

a）²+（

2

a）²=（3a）²，
∴PC²+P′P²=P′C²，
∴△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．