【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.
(1)如圖1,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).
求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.(不必證明)
【答案】
(1)
證明:如圖1中,
連接BD.
∵點(diǎn)E,H分別為邊AB,DA的中點(diǎn),
∴EH∥BD,EH= BD,
∵點(diǎn)F,G分別為邊BC,CD的中點(diǎn),
∴FG∥BD,F(xiàn)G= BD,
∴EH∥FG,EH=GF,
∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形
(2)
四邊形EFGH是菱形.
證明:如圖2中,連接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD,
在△APC和△BPD中,
,
∴△APC≌△BPD,
∴AC=BD
∵點(diǎn)E,F(xiàn),G分別為邊AB,BC,CD的中點(diǎn),
∴EF= AC,F(xiàn)G= BD,
∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是菱形.
(3)
解:四邊形EFGH是正方形.證明:如圖2中,
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O.AC與PD交于點(diǎn)M,AC與EH交于點(diǎn)N.
∵△APC≌△BPD,
∴∠ACP=∠BDP,
∵∠DMO=∠CMP,
∴∠COD=∠CPD=90°,
∵EH∥BD,AC∥HG,
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,
∵四邊形EFGH是菱形,
∴四邊形EFGH是正方形.
【解析】(1)如圖1中,連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG,EH=FG即可.(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.(3)四邊形EFGH是正方形,只要證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理,學(xué)會添加常用輔助線,屬于中考?碱}型.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì),掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題.
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【題目】根據(jù)已知求值.
(1)已知3×9m×27m=316 , 求m的值.
(2)已知am=2,an=5,求a2m﹣3n的值.
(3)已知2x+5y﹣3=0,求4x32y的值.
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【題目】已知點(diǎn)P在第二象限,且橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為1,試寫出一個符合條件的點(diǎn)P .
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【題目】閱讀理解
材料一:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫梯形,其中平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的腰,連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì):
梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.
如圖(1):在梯形ABCD中:AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中點(diǎn)
∴EF∥AD∥BC
EF=(AD+BC)
材料二:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊
如圖(2):在△ABC中:
∵E是AB的中點(diǎn),EF∥BC
∴F是AC的中點(diǎn)
如圖(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn),∠DBC=30°
請你運(yùn)用所學(xué)知識,結(jié)合上述材料,解答下列問題.
(1)求證:EF=AC;
(2)若OD=,OC=5,求MN的長.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn),DG⊥AE,垂足為G,若DG=1,則AE的邊長為( )
A.2
B.4
C.4
D.8
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【題目】下列命題中,是真命題的是( )
A.同位角相等
B.相等的角是對頂角
C.同角的余角相等
D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
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【題目】用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,則方程可化為( )
A.(x+4)2=9
B.(x﹣4)2=9
C.(x+8)2=23
D.(x﹣8)2=9
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