Question

【題目】閱讀理解
材料一：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線．梯形的中位線具有以下性質：
梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
如圖（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中點
∴EF∥AD∥BC
EF=（AD+BC）
材料二：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊
如圖（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中點，EF∥BC
∴F是AC的中點
如圖（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分別為AB、CD的中點，∠DBC=30°

請你運用所學知識，結合上述材料，解答下列問題．
（1）求證：EF=AC；
（2）若OD=，OC=5，求MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，

∴AC=OA+OC=（AD+BC），

∵EF=（AD+BC），

∴AC=EF；

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，

∵OD=，OC=5，

∴OA=3，

∵AD∥EF，

∴∠ADO=∠OMN=30°，

∴ON=MN，

∵AN=AC=（OA+OC）=4，

∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，

∴MN=2ON=2．

【解析】（1）由直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可證明；
（2）直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，得出OA=3，利用平行線得出ON=MN，再根據(jù)AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，進而得出MN的值．
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和梯形的中位線的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半才能正確解答此題．