Question

【題目】已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．

（1）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；

（3）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，且使B′D//OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) C（0，）；（2）y＝﹣x2+2，y的取值范圍是≤y≤2． （3）C的坐標(biāo)是（0，﹣16+8）

【解析】

（1）因?yàn)檎郫B后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，那么BC=AC，可先設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根據(jù)勾股定理即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也就求出了C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）方法同（1）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根據(jù)勾股定理得出x，y的關(guān)系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范圍；

（3）根據(jù)（1）（2）的思路，應(yīng)該先得出OB″，OC的關(guān)系，知道OA，OB的值，那么可以通過(guò)證Rt△COB″∽Rt△BOA來(lái)實(shí)現(xiàn)．∠B″CO和∠CB″D是平行線B″D，OB的內(nèi)錯(cuò)角，又因?yàn)椤?/span>OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出兩三角形相似，得出OC，OB″的比例關(guān)系，然后根據(jù)（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C點(diǎn)的坐標(biāo)了．

（1）如圖①，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則△ACD≌△BCD．

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），則BC=OB-OC=4-m．

∴AC=BC=4-m．

在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，

即（4-m）2=m2+22，解得m=．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）；

（2）如圖②，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′，

∴△B′CD≌△BCD．

∵OB′=x，OC=y，

∴B′C=BC=OB-OC=4-y，

在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．

∴（4-y）2=y2+x2，

即y=-x2+2．

由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，

∴解析式y=-x2+2（0≤x≤2）為所求．

∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴y的取值范圍為≤y≤2；

（3）如圖③，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B″，且B″D∥OC．

∴∠OCB″=∠CB″D．

又∵∠CBD=∠CB″D，

∴∠OCB″=∠CBD，

∵CB″∥BA．

∴Rt△COB″∽Rt△BOA．

∴，

∴OC=2OB″．

在Rt△B″OC中，

設(shè)OB″=x0（x0＞0），則OC=2x0．

由（2）的結(jié)論，得2x0=-x02+2，

解得x0=-8±4．

∵x0＞0，

∴x0=-8+4．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-16+8）．