Question

如圖⊙O中，AB是直徑，AC和AD是弦，且AD平分∠BAC，過D作AC的垂線交AC的延長線于E，
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若AE=4，AB=5，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠AOD=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAO，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∴
∴AD=2．
分析：（1）連接OD，只需證明OD⊥DE即可；
（2）利用圓周角定理：直徑所對圓周角為直角和已知條件判定△AED∽△ADB，進(jìn)而求出AD的長．
點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可，還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理．