Question

已知點(diǎn)A（1，-2），B（-3，-10）
（1）在y軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最�。�
（2）在x軸上求一點(diǎn)Q，使QA+QB最�。�

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AB交y軸于點(diǎn)P，即可得到要求的P點(diǎn)，再根據(jù)直線AB解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）找到A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)Q，即可得到要求的Q點(diǎn)，再根據(jù)直線A′B解析式即可求得Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，連接AB，交y軸于點(diǎn)P，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（1，-2），B（-3，-10），
∴

k+b=-2 -3k+b=-10

，
解得

k=2 b=-4

．
∴直線AB的解析式為y=2x-4，
∴P的坐標(biāo)為（0，-4）；
（2）如圖1，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)Q，
∵A和A′對(duì)稱，
∴QA=QA′，
∴QA+QB=QA+QB′=A′B，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知Q點(diǎn)為所求．
∴設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，
∵A（1，-2），
∴A′（1，2）
∵B（-3，10），
∴

m+n=2 -3m+n=-10

，
解得

m=3 n=-1

∴直線A′B的解析式為y=3x-1，
令y=0，則3x-1=0，
解得x=

1

3

，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短路線問題及對(duì)稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出A′點(diǎn)并求出其坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．