Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)P是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊與點(diǎn)D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊與點(diǎn)E.

（1）當(dāng)點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)PD=PE時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)AP 的長(zhǎng)為，四邊形CDPE的面積為，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出BP的長(zhǎng)，然后求出BE的長(zhǎng)；

（2）設(shè)AP= ，則BP=4—，根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出PD和PE的長(zhǎng)，再根據(jù)PD=PE列出方程即可.

（3）分別用AP表示PD、PE、BE,再根據(jù)即可求出.

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∵點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)

,

∵∠DPE=60°，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊與點(diǎn)D，

∴∠EPB=30°，∴EB

（2）設(shè)AP= ，則BP=4—，在兩個(gè)含有30°的中得出：

AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，

∵PD=PE，∴解得 即有AP=

（3）由（2）知：AP= ，