Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，MH⊥x軸于點(diǎn)H，MA交y軸于點(diǎn)N，sin∠MOH＝.  

（1）求此拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過(guò)H的直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)P，過(guò)O，M兩點(diǎn)作直線(xiàn)PH的垂線(xiàn)，垂足分別為E，F，若 ＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將（1）中的拋物線(xiàn)沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)NQ交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△ANG 與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線(xiàn)QG的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

 

                      

Answer 1

解：（1）∵ M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，

∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a<0，且拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，∴c＞0，∴MH＝c．

∵sin∠MOH＝，∴．∴OM＝，∵，∴MH＝c＝4．∴M（2，4）．∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：．

（2）如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH．

∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM．

∴＝＝．∵＝，∴MF＝HF．

∴∠OHP＝∠FHM＝45°．∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．

 如圖2，同理可得，P（0，﹣2）．-

（3）∵A（-1，0），∴D（1，0）．

∵M（2，4），D（1，0），∴MD：．∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴，∴AN＝，ON＝，N（0，）．

如圖3，若△ANG ∽ △AMD，可得NG∥MD，∴QG：．

 如圖4，若△ANG ∽ △ADM，可得，．

∴AG＝，∴G（，0），∴QG：；

綜上所述，符合條件的所有直線(xiàn)QG的解析式為：或．