【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣+2與x軸交于B、C兩點,與y軸交于點A,拋物線的頂點為D.連接AB,點E是第二象限內的拋物線上的一動點,過點E作EP⊥BC于點P,交線段AB于點F.
(1)連接EA、EB,取線段AC的中點Q,當△EAB面積最大時,在x軸上找一點R使得|RE一RQ|值最大,請求出R點的坐標及|RE﹣RQ|的最大值;
(2)如圖2,在(1)的條件下,將△PED繞E點旋轉得△ED′P′,當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時,求點P′的坐標.
【答案】(1)(2)當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時,點P′的坐標為(,)或(,)或(,)
【解析】
(1)先求直線AB解析式,設點E橫坐標為e,則能用e表示E、F的坐標進而表示EF,求得△EAB面積是關于e的二次函數,易得e=﹣時△EAB面積最大,進而得E的坐標.由三角形兩邊之差小于第三邊可知,當E、Q、R成一直線時,|RE﹣RQ|=EQ最大;由Q為AC中點求得Q坐標,求直線EQ解析式即能求EQ與x軸的交點R坐標及EQ的長.
(2)設P'坐標為(m、n),由于不確定以點A還是點P為直角頂點,故需分兩類情況討論.每種情況下都易得有關P'、P的三角形與△AOP相似,由對應邊成比例列得關于m、n的二元方程;又由旋轉得EP'=EP=,根據勾股定理又列得關于m、n的二元方程,聯(lián)立兩二元方程組即求出m、n的值.
(1)∵y=0時,﹣+2=0,解得:x1=﹣3,x2=1,
∴B(﹣3,0),C(1,0),
∵x=0時,y=2,,
∴A(0,2),
設直線AB的解析式為y=kx+b,
∴解得:,
∴直線AB的解析式為:y=x+2,
設點E(e,﹣e2﹣e+2),則點F(e,e+2),
∴EF=﹣e2﹣e+2﹣(e+2)=﹣e2﹣2e
∴S△EAB=OBEF=×3(﹣e2﹣2e)=﹣e2﹣3e=﹣(e+)2+,
∵﹣3<e<0
∴當e=﹣時,△EAB的面積最大,
∴﹣e2﹣e+2=,
∴此時點E坐標為(-,)
如圖1,
連接并延長EQ,交x軸于點R,則此時|RE﹣RQ|=EQ值最大
∵Q是AC中點,
∴Q(,1)
設直線EQ解析式為:y=ax+c,
∴,解得:,
∴直線EQ解析式為:y=x+,
當y=0時, x+=0,解得:x=,
∴R(,0),
此時|RE﹣RQ|的最大值EQ=,
(2)設點P'坐標為(m,n)
∵EP⊥x軸,E(-,)
∴P(-,0),EP=,AP=,
i)當∠P'PA=90°時,如圖2,
過點P'作P'M⊥x軸于點M,
∴∠P'MP=∠POA=90°,∠PP'M+∠P'PM=∠P'PM+∠APO=90°,
∴∠PP'M=∠APO,
∴△PP'M∽△APO,
∴,即:,
整理得:4n+3m=①,
∵EP'=EP
∴(m+)2+(n﹣)2=()2②,
聯(lián)立①②解方程組得:(舍去),
∴P'(,);
ii)當∠PAP'=90°時,如圖3,過點P'作P'N⊥y軸于點N;
由△P'AN∽△APO得,即:,
整理得:3m+4n=8①,
∵EP'=EP,
∴(m+)2+(n﹣)2=()2②,
聯(lián)立①②解方程組得:,,
∴P'(,)或(,),
綜上所述,當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時,點P′的坐標為( ,)或(,)或(,)
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2-x-3交x軸于A、B兩點(點A在點B的左側),交y軸于點C.
(1)求直線AC的解析式;
(2)①點P是直線AC上方拋物線上的一個動點(不與點A、點C重合),過點P作PD⊥AC于點D,求PD的最大值;
②當線段PD的長度最大時,點Q從點P出發(fā),先以每秒1個單位長度的速度沿適當的路徑運動到y軸上的點M處,再沿MC以每秒個單位長度的速度運動到點C停止,當點Q在整個運動過程中用時最少時,求點M的坐標;
(3)如圖②,將△BOC沿直線BC平移,點B平移后的對應點為點B',點O平移后的對應點為點O',點C平移后的對應點為點C',點S是坐標平面內一點,若以A、C、O'、S為頂點的四邊形是菱形,求出所有符合條件的點O'的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點D,AE⊥DC,垂足為E,F是AE與⊙O的交點,AC平分∠BAE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】小明和小剛一起做游戲,游戲規(guī)則如下:將分別標有數字 1, 2, 3, 4 的 4 個小球放入一個不透明的袋子中,這些球除數字外都相同.從中隨機摸出一個球記下數字后放回,再從中隨機摸出一個球記下數字.若兩次數字差的絕對值小于 2,則小明獲勝,否則小剛獲勝.這個游戲對兩人公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,格點三角形(頂點是網格線的交點的三角形)ABC的頂點A、C的坐標分別為(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系;
(2)請作出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′;
(3)點B′的坐標為 .
(4)△ABC的面積為 .
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【題目】甲、乙兩人相約周末登花果山,甲、乙兩人距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數圖象如圖所示,根據圖象所提供的信息解答下列問題:
(1)甲登山上升的速度是每分鐘 米,乙在A地時距地面的高度b為 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,請求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數關系式;
(3)登山多長時間時,甲、乙兩人距地面的高度差為70米?
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【題目】甲、乙兩人相約周末登花果山,甲、乙兩人距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數圖象如圖所示,根據圖象所提供的信息解答下列問題:
(1)甲登山上升的速度是每分鐘 米,乙在A地時距地面的高度b為 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,請求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)與登山時間x(分)之間的函數關系式;
(3)登山多長時間時,甲、乙兩人距地面的高度差為70米?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某中學圍繞“哈爾濱市周邊五大名山,即:香爐山、鳳凰山、金龍山、帽兒山、二龍山,你最喜歡那一座山?(每名學生必選且只選一座山)的問題在全校范圍內隨機抽取了部分學生進行問卷調查,根據調查結果繪制了如圖的不完整的統(tǒng)計圖:
(1)求本次調查的樣本容量;
(2)求本次調查中,最喜歡鳳凰山的學生人數,并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學共有學生1200人,請你估計該中學最喜歡香爐山的學生約有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了鼓勵市民節(jié)約用電,某市對居民用電實行“階梯收費”(總電費=第一階梯電費+第二階梯電費).規(guī)定:用電量不超過200度按第一階梯電價收費,超過200度的部分按第二階梯電價收費,如圖是張磊家2018年2月和3月所交電費的收據.
(1)該市規(guī)定的第一階梯電價和第二階梯電價單價分別為多少?
(2)張磊家4月份家庭支出計劃中電費為160元,他家最大用電量為多少度?
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