【題目】如圖,已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB,BC的中點(diǎn),AFDE交于點(diǎn)M,OBD的中點(diǎn),則下列結(jié)論:

①∠AME=90°;②∠BAF=EDB;③∠BMO=90°;MD=2AM=4EM;AM=MF.其中正確結(jié)論的是(  )

A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③⑤

【答案】C

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根據(jù)中點(diǎn)定義求出AE=BF,然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,從而求出∠AMD=90°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠AME=90°,得出①正確;
根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判斷出②錯(cuò)誤;
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷出△AED、△MAD、△MEA三個(gè)三角形相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=2,然后求出MD=2AM=4EM,判斷出④正確,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM=MF,判斷出③正確.

在正方形ABCD中,AB=BC=AD,ABC=BAD=90°,

E、F分別為邊AB,BC的中點(diǎn),

AE=BF=BC,

在△ABF和△DAE中,

∴△ABF≌△DAE(SAS),

∴∠BAF=ADE,

∵∠BAF+∠DAF=BAD=90°,

∴∠ADE+∠DAF=BAD=90°,

∴∠AMD=180°﹣(ADE+∠DAF)=180°﹣90°=90°,

∴∠AME=180°﹣AMD=180°﹣90°=90°,故①正確;

DE是△ABD的中線,

∴∠ADE≠∠EDB,

∴∠BAF≠∠EDB,故②錯(cuò)誤;

∵∠BAD=90°,AMDE,

∴△AED∽△MAD∽△MEA,

=2,

AM=2EM,MD=2AM,

MD=2AM=4EM,故④正確;

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,則BF=a,

RtABF中,AF=,

∵∠BAF=MAE,ABC=AME=90°,

∴△AME∽△ABF,

,

,

AM=,

MF=AF﹣AM=a﹣=,

AM=MF,故⑤正確;

如圖,過(guò)點(diǎn)MMNABN,

,

,

解得MN=a,AN=a,

NB=AB﹣AN=2a﹣a=a,

根據(jù)勾股定理,BM=

過(guò)點(diǎn)MGHAB,過(guò)點(diǎn)OOKGHK,

OK=a﹣a=a,MK=a﹣a=a,

RtMKO中,MO=,

根據(jù)正方形的性質(zhì),BO=2a×=a,

BM2+MO2=( a)2+a)2=2a2,

BO2=(a)2=2a2,

BM2+MO2=BO2,

∴△BMO是直角三角形,∠BMO=90°,故③正確;

綜上所述,正確的結(jié)論有①③④⑤共4個(gè).

故選:C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D在拋物線上,DEy軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0t4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫(xiě)出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,EBC的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:AB=CF;

(2)連接DE,若AD=2AB,求證:DEAF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,AD, CEΔABC的角平分線且交于0點(diǎn),∠DAC=30°,∠ECA=35°,則∠AOB=_______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)P (x,y),若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(ax+yx+ay), 其中a為常數(shù),則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)",例如,點(diǎn)P(14)“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)"Q (3×1+4,1+3×4), Q (7,13)。

(1)已知點(diǎn)A (-2,6)級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)是點(diǎn)A1,點(diǎn)B“2級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)B1 (3, 3) 求點(diǎn)A1和點(diǎn)B的坐標(biāo):

(2)已知點(diǎn)M (m-1, 2m)“-3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)"M位于坐標(biāo)軸上,求M的坐標(biāo)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】1)如圖①,在四邊形中,,點(diǎn)的中點(diǎn),若的平分線,試判斷,之間的等量關(guān)系.

解決此問(wèn)題可以用如下方法:延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線于點(diǎn),易證得到,從而把,轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷.

,,之間的等量關(guān)系________

2)問(wèn)題探究:如圖②,在四邊形中,的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn),若的平分線,試探究,之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點(diǎn)P.

(1)若AE=CF;

①求證:AF=BE,并求APB的度數(shù);

②若AE=2,試求APAF的值;

(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),試求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】閱讀材料:

小明是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的學(xué)生,他在學(xué)習(xí)了二元一次方程組后遇到了這樣一道題目:現(xiàn)有8個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形,可拼成如圖1、2所示的圖形,在拼圖時(shí),中間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形,求每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.

小明設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x,寬為y,觀察圖形得出關(guān)于x、y的二元一次方程組,解出x、y的值,再根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式得出每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.

解決問(wèn)題:

(1)請(qǐng)按照小明的思路完成上述問(wèn)題:求每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積;

(2)某周末上午,小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯,他把紙杯整齊地疊放在一起,如圖3所示.若小明把13個(gè)紙杯整齊疊放在一起時(shí),它的高度約是   cm;

(3)小明進(jìn)行自主拓展學(xué)習(xí)時(shí)遇到了以下這道題目:如圖,長(zhǎng)方形ABCD中放置8個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形(尺寸如圖4),求圖中陰影部分的面積,請(qǐng)給出解答過(guò)程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面坐標(biāo)系中,ΔABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-8,-3),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0-5),ACx軸于點(diǎn)D.

1)求點(diǎn)CD的坐標(biāo);

2)點(diǎn)Mx軸上,當(dāng)ΔAMB的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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