Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，且AB=2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2；

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△APC周長(zhǎng)的最小，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)

及△APC周長(zhǎng)；

（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3（2）3+（3）（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）

【解析】

試題分析：（1）由AB=2，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，得知拋物線與x軸交點(diǎn)為（1，0）、（3，0），即1、3為方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根，結(jié)合跟與系數(shù)的關(guān)系可求得b、c；

（2）由拋物線的對(duì)稱性，可得出PA+PC最短時(shí)，P點(diǎn)為線段BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論；

（3）平行四邊形分兩種情況，一種AB為對(duì)角線，由平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；另一種，AB為一條邊，根據(jù)對(duì)比相等，亦能求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵AB=2，對(duì)稱軸為直線x=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴1，3是方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得1+3=﹣b，1×3=c，

∴b=﹣4，c=3，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2﹣4x+3．

（2）連接AC，BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA，如圖1，

由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2﹣4x+3，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴BC==3，AC==．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸直線x=2對(duì)稱，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC，此時(shí)，PB+PC=BC，

∴當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PC的最小值等于BC，

∴△APC周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3+．

（3）以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況，

①線段AB為對(duì)角線，如圖2，

∵平行四邊對(duì)角線互相平分，

∴DE在對(duì)稱軸上，此時(shí)D點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，

將x=2代入y=x2﹣4x+3中，得y=﹣1，

即點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，﹣1）．

②線段AB為邊，如圖3，

∵四邊形ABDE為平行四邊形，

∴ED=AB=2，

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，m），則點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，m）或（0，m），

∵點(diǎn)D在拋物線上，

將x=0和x=4分別代入y=x2﹣4x+3中，解得m均為3，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）或（0，3）．

綜合①②得點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．