Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且BD=

1

3

BC，CE=

1

3

AC，BE與AD相交于點(diǎn)F，連接DE，則下列結(jié)論：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE²=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，其中正確的是

 

．（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：本題是開放題，對結(jié)論進(jìn)行一一論證，從而得到答案．
①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，即可證∠AFE=60°；
②從CD上截取CM=CE，連接EM，證△CEM是等邊三角形，可證明DE⊥AC；
③△BDF∽△ADB，由相似比則可得到CE²=DF•DA；
④只要證明了△AFE∽△BAE，即可推斷出AF•BE=AE•AC．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD=

1

3

BC，CE=

1

3

AC
∴BD=CE．
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=60°
∴①是對的；
如圖，從CD上截取CM=CE，連接EM，則△CEM是等邊三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=

1

2

CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴②是對的；
由前面的推斷知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD²=DF•DA
∴CE²=DF•DA
∴③是對的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE=AE•AC
∴④是對的；
故答案為：①，②，③，④．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，全等三角形，直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，內(nèi)容較多，題目較為復(fù)雜．