Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫(xiě)出：

1

n(n+1)

=

 

（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

=

 

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=

 

（3）探究并計(jì)算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算

專題：規(guī)律型

分析：（1）將

1

n(n+1)

拆分即可求解；
（2）①②先拆分再抵消即可求解；
（3）先提取

1

4

，再拆分抵消即可求解．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；
（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

=

1

4

(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1005×1006

)
=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1005

-

1

1006

)
=

1

4

×(1-

1

1006

)=

1005

4024

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；

2012

2013

；

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，拆分抵消思想是解題的關(guān)鍵．